第 5 炼 函数的对称性与周期性一、基础知识(一)函数的对称性1、对定义域的要求:无论是轴对称还是中心对称,均要求函数的定义域要关于对称轴(或对称中心)对称2、轴对称的等价描述:(1)关于轴对称(当时,恰好就是偶函数)(2)关于轴对称 在已知对称轴的情况下,构造形如的等式只需注意两点,一是等式两侧前面的符号一样,且括号前面的符号相反;二是的取值保证为所 给 对 称 轴 即 可 。 例 如 :关 于轴 对 称, 或 得 到均可,只是在求函数值方面,一侧是更为方便(3)是偶函数,则,进而可得到:关于轴对称。① 要注意偶函数是指自变量取相反数,函数值相等,所以在中,仅是括号中的一部分,偶函数只是指其中的取相反数时,函数值相等,即,要与以下的命题区分:若是偶函数,则:是偶函数中的占据整个括号,所以是指括号取相反数,则函数值相等,所以有② 本结论也可通过图像变换来理解,是偶函数,则关于轴对称,而可视为平移了个单位(方向由的符号决定),所以关于对称。 在已知对称中心的情况下,构造形如的等式同样需注意两点,一是等式两侧和前面的符号均相反;二是的取值保证为所给对称中心即 可 。 例 如 :关 于中 心 对 称, 或 得 到均可,同样在求函数值方面,一侧是更为方便(3)是奇函数,则,进而可得到:关于中心对称。① 要注意奇函数是指自变量取相反数,函数值相反,所以在中,仅是括号中的一部分,奇函数只是指其中的取相反数时,函数值相反,即,要与以下的命题区分:若是奇函数,则:是奇函数中的占据整个括号,所以是指括号取相反数,则函数值相反,所以有② 本结论也可通过图像变换来理解,是奇函数,则关于中心对称,而可视为平移了个单位(方向由的符号决定),所以关于对称。4、对称性的作用:最突出的作用为“知一半而得全部”,即一旦函数具备对称性,则只需要分析一侧的性质,便可得到整个函数的性质,主要体现在以下几点:(1)可利用对称性求得某些点的函数值(2)在作图时可作出一侧图像,再利用对称性得到另一半图像(3)极值点关于对称轴(对称中心)对称(4)在轴对称函数中,关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反;在中心对称函数中,关于对称中心对称的两个单调区间单调性一样(二)函数的周期性1 、 定 义 : 设的 定 义 域 为, 若 对, 存 在 一 个 非 零 常 数, 有,则称函数是一个周期函数,称为的一个周期2、周期性的理解:...