第30章--组合几何

第 30 章 组合几何30.1 覆盖、划分与构造30.1.1** 求证：可以把三角形划分成三块，拼成一个矩形．解析 如图，不妨设为△之最大边，故，，设、中点分别为、，作，，易知、在上．今过作，分别与直线、交于、，于是易见△≌△，△≌△，因此△被分成三块，拼成了矩形．30.1.2** 任何不等边三角形都可以被两个较小与之相似的三角形覆盖．解析 如图，不妨设△∽△∽△，且△最大．注意这里△是预先给定的，而△与△都是构造的．不妨设，如图，又让．（与重合，与重合），、分别在、上，．于是只要设与交于，在上，即能保证△与△均比△小．30.1.3*** 求证：同时平分一个三角形面积和周长的直线必通过该三角形的内心，对于任意圆外切多边形，是否有类似论断？解析 对于任意圆外切多边形都成立．如图，设平分线交外切凸多边形于点、，分成两段与，圆心为，半径为，由，得，即过圆心．PAQMNBSTCPCA2AA1BB1C2B1C130.1.4** 已知坐标平面上有一个△，顶点坐标分别为（，）、（，）、（，），则有定理，以此证明：格点三角形的面积≥；对于任何大的正数，是否都存在三边长均大于且面积为的格点三角形？解析 面积公式可用外接矩形推导．又设△中，点为原点（0，0），、为格点（，）、（，），则由面积公式知，下讨论不定方程．比如方便地，令（，）＝（，），（，）＝（，），只要是充分大的正整数，、、都充分大．30.1.5*** 证明：凸多边形不能划分成有限个非凸四边形．解析 假设凸多边形能分割成非凸四边形，…，多边形中小于的内角和与另外的角之和的差用数来表示，另外的角是指中大于的角关于的补角．比较数和，为此讨论四边形，…，的所有顶点，这些顶点能够分成 4 种类型：（1）多边形的顶点．这些点给予和同样的值．（2）在多边形或四边形边上的点．每个这样的点给予的值比给予的值大．（3）多边形的内点．在这点引出四边形的小于的角，每个这样的点给予的值比给予的值大．（4）多边形的内点，在此点引出四边形的一个大于的角，这样的点给予和的值为零．总之，得到．另一方面，，而．不等式是显然的，而对于等式的证明，可以验证：假如是非凸四边形，则．设的角，任意的非凸四边形相当于有一个角大于，因此．矛盾，因此不可能把凸多边形分割成有限个非凸四边形．30.1.6*** 求证：对任意有界凸形，存在两个矩形、，与相似，面积分别为、，覆盖，包含，．ABO解析 如图，设的直径（即中最远两点之距离）为，则过点、与垂直的直线、是的左...