第 四 章 微分中值定理和导数的应用 一、考核要求 Ⅰ 知道罗尔定理成立的条件和结论，知道拉格朗日中值定理成立的条件和结论。 Ⅱ 能识别各种类型的未定式，并会用洛必达法则求它们的极限。 Ⅲ 会判别函数的单调性，会用单调性求函数的单调区间，并会利用函数的单调性证明简单的不等式。 Ⅳ 会求函数的极值。 Ⅴ 会求出数在闭区间上的最值，并会求简单应用问题的最值。 Ⅵ 会推断曲线的凹凸性，会求曲线的凹凸区间和拐点。 Ⅶ 会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。 二、基本概念、主要定理和公式、典型例题 Ⅰ 微分中值定理 今后，假如函数 f(x)在某一点 x0处的导数值=0，就说这一点是驻点，因此罗尔中值定理的结论也可以说 f(x)在（a，b）至少有一个驻点。 从 y=f(x)的几何图形（见下图）可以看出，若 y=f(x)满足罗尔中值的条件，则它在（a，b）至少有一点，其切线是水平的，根据导数的几何意义知道，该点的斜率=k=0。 从函数 y= f(x)的图形看（见下图）， 连接 y= f(x)在[a， b]上的图形的端点 A 与 B，则线段 AB 的斜率为： 将 AB 平行移动至某处，当 AB 的平行线与曲线 y=f(x)相切时，若切点为 x=c，则根据导数的几何意义知： 或写作 故从几何图形看，拉格朗日定理是成立的。 典型例题 例一：（单选）下列函数在相应区间上满足罗尔中值定理的条件的函数是（ ） ① ，[-1，1]； ② ，[-1，1]； ③ ，[1， 2]； ④ ，[-1，1]。 解：①在[-1，1]上处处有意义，没有无意义的点，因为他没有分母，所以在 b 区间[-1，1]上处处连续满足第一个条件。 又 f(-1)=1，f(1)=1，所以在端点上函数值相等，满足第三个条件 因此这函数在开间不是处处可导，只少在 0 这一点不可导的，因此不满足第二个条件。 ② 在 x=o 处不可导，∴也不满足第二个条件。 ③ f(1)=1，f(2)=4，∴在[1，2]上满足第三个条件。 ④ ，处处可导且处处连续，f(-1)=1， f(1)=1。 ∴ 在[-1，1]上满足三个条件。 例二：证明方程在（0，1）至少有一个根。 证：用罗尔中值定理 解：由于 令 在[0，1]上满足罗尔定理的三个条件。所以在（0，1）至少存在一个数 c (0＜c＜1) 使。 ∴ x=c 是方程的根。 即 x=c 是方程的根。 例三：证明不等式：arctanb－arctana≤b-a ，(a＜b) 解： 令 f(x)= arctan x ∴ 处处存在。 ∴ f(x)= arctan x 处处可导，处处连续，所以 f(x)=arctanx 在[a...
