奥数教案-第一章-高斯算法

第一章高斯算法内容精要德国有一位世界著名的数学家叫高斯（1777-1855），他上学时，老师出了一道数学题：1+2+3+…+100=？小高斯看了看题目，想了一下，很快说出了结果是 5050。他的同学无不为之惊奇，甚至还有的同学以为他在瞎说。但小高斯得出的结果被确定是正确的。同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，根据题的特点，发现了这样的有趣现象：1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，50+51=101 一共有多少个 101 呢？100 个数，每两个数是一对，共有 50 对，即共有 50 个 101，所以1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）⏟共50个101=101¿ 50也就是：（1+100）¿ （100¿ 2）=101¿ 50=5050由此，归纳出一个公式，是总和=（首项+末项）¿ 项数¿ 2注：在数学上，人们把 1~100 这些数中的每一个数都叫做一个项，并把这样的一串数称作等差数列。这就是“高斯算法”的公式。有了它，好多数学竞赛中的问题解答起来就方便多了。例 1计算：6000-1-2-3-…-99-100分析可先利用减法的性质，把原题变为 6000-（1+2+3+…+99+100），然后再利用高斯求和公式计算。解：6000-1-2-3-…-99-100=6000-（1+2+3+…+99+100）=6000-（1+100）¿ 100¿ 2=6000-5050=950例 21+2+3-4+5+6+7-8+9+…+25+26+27-28=分析：认真观察这个算式，发现他很有规律地出现着一些“减数”。因此，计算时应特别细心。再此介绍三种解法。解法一可这样想：开始我们把减数当成加数来算了，所以后来应减去这些减数的 2 倍。解法二可这样想：四个数为 1 组，28 个数即可分成 7 组。所以项数是 7。<解法一>变减为加，整体推算。（其中减数为 4 的倍数，共 28¿ 4=7（个））（1+28）¿ 28¿ 2-[（4+28）¿ 7¿ 2]¿ 2=406-224=182<解法二>分组累计从头算起每四个数为 1 组，分别计算每组数的得数为：2、10、18……50。其和为：（2+50）¿ 7¿ 2=182<解法三>加数、减数分别统计。减数全部拿出以后，剩下的加数是：1+2+3+5+6+7+9+…+25+26+27把这些加数每 3 个一组，并求出每组之和：（1+2+3）+（5+6+7）…+（25+26+27）=6+18+…+78=（6+78）¿ 7¿ 2=294七个减数的和为：（4+28）¿ 7¿ 2=112原式的得数为：294-112=182例 3有一列数：19、22、25、28……请问，这列数的前 99 个数（从 19 开始算起）的总和是多少？分析：求总和，必须先算出这个数列的末项（即第 99 个数）是多少。认真观...