导数中证明不等式技巧——构造、切线放缩、二元变量、凹凸反转-唯手熟尔!-(1)

导数中的不等式证明导数中不等式的证明是历年的高考中是一个永恒的话题，由于不等式证明的灵活性，多样性，该考点也备 受命题者的青睐。本文通过四个方面系统介绍了一些常规的不等式证明的手段命题角度 1 构造函数命题角度 2 放缩法命题角度 3 切线法命题角度 4 二元或多元不等式的证明思路命题角度 5 函数凹凸性的应用命题角度 1 构造函数【典例 1】（赣州市 2024 届高三摸底考试）已知函数 f x   1 ln x , g (x)  ae  1  bx ，若曲线 y  f x 与曲 xe xx线 y  g x 的一个公共点是 A1,1，且在点 A 处的切线互相垂直．（1）求 a, b 的值；（2）证明：当 x  1 时， f x   g (x)  2 ．x【解析】（1） a  b  1 ；（2） g(x)   e  1  x ， f x   g (x)  2  1 ln x  e  1  x  0 ，exxxxe xx令 h x   f x  g (x )  2 x  1，则xh x   1 ln x  e  1  x ， xexhx    1 ln x xe  1  1 ln x  e  1 ， x2exx2x2ex 因为x  1 ，所以 hx   ln x x2e  1 0 ，ex所以 h x 在1.  单调递增， h x   h 1  0 ，即 1 ln x  e  1  x  0 ， xexx所以当 x  1 时， f x   g (x)  2 ．x【审题点津】待证不等式的两边都含有同一个变量，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，应用 导数讨论其单调性，借助于所构造函数的单调性加以证明.命题角度 2 放缩法【典例 2】（石家庄市 2024 届高三下学期 4 月一模考试）已知函数 f (x)  (x  b)(ex  a) (b  0) ，在1(1, f (1)) 处的切线方程为(e  1)x  ey  e  1  0 .（1）求 a, b ；（2 ）若 m  0 ，证明： f (x)  mx 2  x .【解析】（1） a  1， b  1；（2）由（1）可知 f (x)  (x 1)(e x 1) ， f (0)  0, f 1  0 ， 由 m  0 ，可得 x  mx2  x ，令 g(x)  x 1e x 1 x ，则 g(x)  x  2e x  2 ，当 x  2 时...