第 11 章 比例与相似§11.1 比例线段11.1.1★在中，角平分线与交于，，，，求、之长度(用、、表示)．解析 如图，易知有，，故，．11．1．2★已知：等腰梯形中，、分别是腰、的中点，，且交于，求证：．解析 如图，不妨设，则，，故，．11．1．3★在中，，的平分线交于，过分别作、的平行线交、于、，和的延长线交于，求证：．解析 如图，由，及平分，知，故，因此．11．1．4★设为的边的中点，过作一直线，交、或其延长线于、，又过作，交的延长线于，则．ABDCADEMNBCAEFGBDC解析 由平行知．于是由第一式与最后一式，转化为乘法，即可得结论．11．1．5★已知是平行四边形内的任意一点，过点作，分别交、于、，又过作，分别交、于、；连结，交于；连结，交于．假如，求证：平行四边形是菱形．解析 如图，易知，．由于，，故，于是，四边形是菱形．11．1．6★中，．是的角平分线．是的中点，过作直线平行于交、或延长线于和．求证：．解析 如图，易知比靠近，在上，而在延长线上．易知，而，故，同理，也是此值．GAEBDCFAEDQGHPOBFCFAEBGDC评注 不用比例线段的方法是：延长一倍至，则，再证和均为等腰三角形．11．1．7★凸四边形中，，，平行于交延长线于点，平行于交延长线于点，连结、，证明：．解析 如图，设、交于，则由平行线性质，知，，同理，，故，故．11．1．8★★如图，在中．，、为的三等分角线，交的平分线于、，连结并延长交于，求证：．解析 易知关于对称．又设，则，故，于是由角平分线之性质，知，于是．11．1．9★★梯形中，()，和交于，过作，交、于、，和交于，过作，交、于、．求证：．AFDOBCEARPQBDC解析 ，故，同理，故，同理，两式相加并整理即得结论．11．1．10★设、、分别是的三边的长，且，求它的内角、．解析 由条件，得，即，所以．如图，延长至，使，于是．因此在与，，且为公共角，所以∽，．而，故．11．1．11★设凸四边形，对角线交于，过作直线与平行，交、及延长线于、、．若，，求．ADEMFGNHBCCABbcaDDAFGEHBCK解析 延长与延长线交于，则有．设，则，代人上式，便得．故．11．1．12★★为等腰三角形底边上的高，为的平分线，作于，又作与直线交于，求证：．解析 如图，设，，则由角平分线性质知，故．又取中点，连结，，，故，，故，从而，故．于是．11.1.13★★足球场四周有四盏很高的灯，在长方形的四角，且一样高，求某一运动员任何时刻的四个影子长之间的关系．跳起来呢?解析 设运动员在...
