第 5 章 插值与拟合方法插值与拟合方法是用有限个函数值去推断或表示函数的方法，它在理论数学中提到的不多。本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插 值 及 曲 线 拟 合 等 。 对 应 的 方 法 有Lagrange 插值，Newton 插值，Hermite 插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。1 实际案例652 问题的描述与基本概念先获得函数（已知或未知）在有限个点上的值 … … 由表中数据构造一个函数 P(x)作为 f (x) 的近似函数，去参与有关 f (x)的运算。科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。1）插值问题的描述66已知函数在[a,b]上的 n+1 个互异点处的函数值，求 f (x) 的一个近似函数 P (x)，满足 （5.1） P (x) 称为 f (x)的一个插值函数; f (x) 称为被插函数;点 为插值节点;称为插值条件;称为插值余项。当插值函数 P (x)是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。67一个代数插值函数 P (x)可写为 若它满足插值条件（5.1），则有线性方程组 （5.2）68当 m=n，它的系数行列式为范德蒙行列式因为插值节点互异，，故线性方程组（5.2）有唯一解，于是有定理 5.1 当插值节点互异时，存在一个满足插值条件的 n 次插值多项式。69定理 满足插值条件(5.1)的 n 次插值多项式是唯一的。证明 设是两个满足插值条件(5.1)的 n 次插值多项式，于是有令显然有是次数≤n 的多项式，且说明有 n+1 个零点，由代数基本定理有H (x) 0，由此得。插值的一个目的是对函数作近似计算。假设[a, b] 是包含插值点的最70小闭区间，当用插值函数 P(x)来近似计算 x在[a, b]的函数值时，称为内插计算，否则称为外插或外推计算。2）拟合问题的描述已知在[a,b]上的 n+1 个(互异或不互异)点处的函数值，求f (x) 的一个近似函数，满足拟合条件71这 里 是 n+1 维 向 量 ，是 某 种 范 数 ，，。求出的称为拟合函数。723）插值函数和拟合函数的几何解释1) 插值函数图示 2）拟合函数图示735.3 插值法741. Lagrange 插值Lagrange 插值是 n 次多项式插值。基本思想将待求的 n 次多项式插值函数改写成用已知函数值为系数的 n+1 个待定 n 次多项式的线性组合型式，再利用插值条件和函数分解技术确定 n+1 个待定 n 次多项式形式求出插值多项式。1) 构造原理已知数表75 … …设 n 次插值多项式 ...
