广东省惠州市惠阳一中实验学校 2014 年高三数学 平面向量的数量积（第 1 课时）导学案 理【学习目标】1.记住平面向量数量积的含义及其物理意义．2．能说出平面向量的数量积与向量投影的关系．3．记住数量积的几何表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【重点难点】重点 ：平面向量的数量积的几何表示。难点 ：能恰当的选取基底表示向量。【使用说明及学法指导】①要求学生完成知识梳理和基础自测题；限时完成预习案，识记基础知识；②课前只独立完成预习案，探究案和训练案留在课中完成。预习案一、知识梳理1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，它们的夹角为 θ，则数量 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为 ．(2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的投影 的乘积．两个非零向量 a 与 b 垂直的充要条件是 a·b＝0，两个非零向量 a 与 b 平行的充要条件是 a·b＝ 2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝ ；(2)数乘结合律：(λa)·b＝ ＝ ；(3)分配律：a·(b＋c)＝ ．二、基础自测1. 已知向量 a、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b 的夹角为( )A. B. C. D.2 已知向量 a，b 和实数 λ，下列选项中错误的是( )A．|a|＝ B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|3.已知两个非零向量 a，b 满足|a＋b|＝|a－b|，则下面结论正确的是( )A．a∥b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．a＋b＝a－b4. 已知 a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为______．探究案一、合作探究例 1. 已知△ABC 为等边三角形，AB＝2.设点 P，Q 满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－，求 λ 的值。例 2. 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求 a 与 b 的夹角 θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC 的面积．例 3 设两个向量 e1、e2 满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1＋7e2 与向量 e1＋te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围．二、总结整理（归纳本节课知识结构，方法感悟及反思提炼。可先让学生自主小结，然后教师点评或展示）训练案一、课中训练与检测1.在△ABC 中，M 是 BC 的中点，AM＝3，BC＝10，则AB·AC＝________．2. 设向量 a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.二、课后巩固促提升在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则等于 ( )A．2 B．4 C．5 D．10
