2.1.2 数列的递推公式(选学)自主学习 知识梳理1．通项公式与递推公式的区别与联系定义不同点相同点通项公式如果数列{an}的第 n 项 an与项数 n 之间的关系可用一个函数式 an＝f(n)来表示，则这个公式称为{an}的通项公式给出 n 的值，可求出{an}的第 n 项 an可确定一个数列；可求出数列中任意一项递推公式如果已知数列{an}的第一项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 an与前一项 an－1(或前几项)之间的关系可用一个公式来表示，则这个公式叫做{an}的递推公式由第一项(或前几项)的值，经过一次(或多次)运算，逐项地求出 an2.由数列的递推公式求通项公式的常用方法(1)累加法：an＋1＝an＋f(n) (f(n)可求和)an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)．(2)累乘法：an＋1＝an·f(n) (f(n)为含 n 的代数式)an＝a1···…·＝a1·f(1)·f(2)·…·f(n－1)．3．数列{an}的通项 an与其前 n 项和 Sn之间的关系是：当 n＝1 时，a1＝S1，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1.4．Sn与 an的混合关系式有两个思路(1)消去 Sn，转化为 an的递推关系式，再求 an；(2)消去 an，转化为 Sn的递推关系式，求出 Sn后，再求 an. 自主探究1．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝an＋2，试用累加法推导{an}的通项公式．2．已知数列{an}，a1＝2，an＋1＝2an，试用累乘法推导{an}的通项公式．对点讲练知识点一 利用累加法求通项公式例 1 已知：a1＝1，an＋1＝an＋(2n＋1)，求 an.总结 形如 an＋1＝an＋f(n)的递推数列，常用累加法求其通项公式，关键是不断变换递推公式中的“下标”．变式训练 1 已知数列{an}，a1＝1，以后各项由 an＋1＝an＋给出，试用累加法求通项公式an.(提示：＝－)．1知识点二 利用累乘法求通项公式例 2 已知：a1＝1，an＋1＝2n·an，求 an.总结 形如 an＋1＝anf(n)的递推数列，常用累乘法求其通项公式．变式训练 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn满足：Sn＝n2an，且 a1＝1，求{an}的通项公式．知识点三 由实际问题提炼出递推公式例 3 某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到 2010 年底全县的绿化率已达 30%.从 2011 年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的 16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的 4%又被沙化．设全县面积为 1,2010 年底绿化面积为 a1＝，经过 n 年绿化总面积为 an＋1.求证：an＋1＝＋an.总结 ...
