§2.3 等比数列2．3.1 等比数列自主学习 知识梳理1．如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的________都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的 ________，通常用字母 q 表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式：____________.3．等比中项的定义如果 x、G、y 成等比数列，那么 G 叫做 x 与 y 的____________，且 G2＝________.4．对于正整数 m，n，p，q，若 m＋n＝p＋q，则等比数列中 am，an，ap，aq的关系是________________．5．证明一个数列是等比数列最基本的方法是定义，即____________________(用数学式子表示)． 自主探究首项为 a1，公比为 q 的等比数列在各条件下的单调性如下表：a1a1>0a1<0q 范围0101{an}的单调性对点讲练知识点一 等比数列通项公式的应用例 1 已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．总结 等比数列的通项公式 an＝a1qn－1中有四个量 a1，q，n，an.已知其中三个量可求得第四个，简称“知三求一”．变式训练 1 已知等比数列{an}，若 a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求 an.知识点二 等比数列性质的应用例 2 已知{an}为等比数列．(1)若 an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5；(2)若 an>0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．1总结 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q，则 aman＝apaq，利用这一性质可以化繁为简．变式训练 2 设{an}是由正数组成的等比数列，公比 q＝2，且 a1·a2·a3·…·a30＝215，求 a2·a5·a8·…·a29的值．知识点三 等比数列的判断与证明例 3 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝(an－1) (n∈N*)．(1)求 a1，a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．总结 利用等比数列的定义＝q (q≠0)是判定一个数列是否是等比数列的基本方法．变式训练 3 设 Sn为数列{an}前 n 项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中 k 是常数．(1)求 a1及 an；(2)若对于任意的 m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求 k 的值．1．等比数列的判断或证明(1)利用定义：＝q (与 n 无关的常数)．(2)利用等比中项：a＝anan＋2 (n∈N*)．2．如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明，即存在an0，an0＋1，an0＋2，使 a2n0＋1≠an0·an0＋2，也可以用反证法．3．等比数列{an}的通项公式 an＝a1qn－1共涉及 an，a1，q，n 四个量，已知其中三个量可求得第四个....
