微型专题 3 竖直面内的圆周运动[学习目标] 1.了解竖直面内圆周运动的两种基本模型.2.掌握轻绳(或轻杆)约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析.3.学会分析圆周运动问题的一般方法.一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型如图 1 所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，二者运动规律相同，现以甲图为例.图 1(1)最低点运动学方程：FT1－mg＝m所以 FT1＝mg＋m(2)最高点运动学方程：FT2＋mg＝m所以 FT2＝m－mg(3)最高点的最小速度：由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，由 FT2＋mg＝可知，当 FT2＝0 时，v2最小，最小速度为 v2＝.讨论：当 v2＝时，拉力或压力为零.当 v2>时，小球受向下的拉力或压力.当 v2<时，小球不能到达最高点.例 1 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图 2 所示，水的质量 m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离 l＝50cm.(g 取 10m/s2)图 2(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率 v＝3m/s，求水对桶底的压力大小.答案 (1)2.24m/s (2)4N解析 (1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.此时有：mg＝m，则所求的最小速率为：v0＝≈2.24m/s.(2)此时桶底对水有一向下的压力，设为 FN，则由牛顿第二定律有：FN＋mg＝m，代入数据可得：FN＝4N.由牛顿第三定律，水对桶底的压力大小：FN′＝4N.【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】竖直面内的“绳”模型二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型如图 3 所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下做圆周运动.图 3(1)最高点的最小速度由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度 v＝0，此时小球受到的支持力 FN＝mg.(2)小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况①v>，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，mg＋F＝m，所以 F＝m－mg，F 随 v 增大而增大.②v＝，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0，mg＝m.③0
