近年来中考数学压轴题大集合【一】函数与几何综合的压轴题1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.：A(-2,-6),C(1,-3)(1)求证：E点在y轴上；(2)假如有一抛物线通过A，E，C三点，求此抛物线方程.(3)假如AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，如今AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.[解]〔1〕〔本小题介绍二种方法，供参考〕方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC∴又 DO′+BO′=DB∴ AB=6，DC=3，∴EO′=2又 ，∴∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上方法二：由D〔1，0〕，A〔-2，-6〕，得DA直线方程：y=2x-2①再由B〔-2，0〕，C〔1，-3〕，得BC直线方程：y=-x-2②联立①②得∴E点坐标〔0，-2〕，即E点在y轴上〔2〕设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A〔-2，-6〕，C〔1，-3〕E〔0，-2〕三点，得方程组解得a=-1,b=0,c=-2∴抛物线方程y=-x2-2〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕由〔1〕当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x轴垂足为F。同〔1〕可得：得：E′F=2方法一：又 E′F∥AB，∴S△AE′C=S△ADC-S△E′DC===DB=3+kS=3+k为所求函数解析式图①方法二： BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA∴S△AE′C=S△BDE′∴S=3+k为所求函数解析式.证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又 S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4∴∴S=3+k为所求函数解析式.2.〔2004广东茂名〕：如图，在直线坐标系中，以点M〔1，0〕为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.〔1〕求点A的坐标；〔2〕设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M的切线？并对你的结论加以证明；〔3〕连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，假设，抛物线y＝ax2＋bx＋c通过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式.[解]〔1〕解：由AM＝，OM＝1，在Rt△AOM中，AO＝，∴点A的坐标为A〔0，1〕〔2〕证： 直线y＝x＋b过点A〔0，1〕∴1＝0＋b即b＝1∴y＝x＋1令y＝0那么x＝－1∴B〔—1，0〕，AB＝在△ABM中，AB＝，AM＝，BM＝2∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°∴直线AB是⊙M的切线〔3〕解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC＝2，∴BC＝ ∠BAC＝90°∴△ABC的外接圆的直径为BC，∴ABCDxM·y而，设通过点B〔—1，0〕、M〔1，0〕的抛物线的解析式为：y＝a〔＋1〕〔x－1〕，〔a≠0〕即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法二：〔接上〕求得∴h＝5由所求抛物线通过点B〔—1，0〕、M〔1、0〕，那么抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为〔0，±5〕∴抛物线的解析式为y＝a〔x－0〕2±5又B〔－1,0〕、M〔1,0〕在抛物线上，∴a±5＝0，a＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法三：〔接上〕求得∴h＝5因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕由得∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.3.(2004湖北荆门)如图，在直角坐标系中，以点P〔1，－1〕为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线过点A、B，且顶点C在⊙P上.(1)求⊙P上劣弧的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？假设存在，求出点D的坐标；假设不存在，请说明理由.[解]〔1〕如图，连结PB，过P作PM⊥x轴，垂足为M.在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°的长＝〔2〕在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,那么MB＝MA＝.又OM=1，∴A〔1－，0〕，B〔1＋，0〕，由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，那么C(1，－3).点A、B、C在抛物线上，那么ABCOxy·P（1，－1）ABCOxyP（1，－1）·M解之得抛物线解析式为〔3〕假设存在点D，使OC与PD互相平分，那么四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D〔0，－2〕.又点D〔0，－2〕在抛物线上，故存在点D〔0，－2〕，使线段OC与PD互相平分.4.〔2004湖北襄樊〕如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C〔0，〕在轴的正半轴上，A、B是轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交B...
