立体几何复习试题1.如图甲所示，BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，OB=BC=1，OD=3OA，现将梯形ABCD沿OB折起如图乙所示的四棱锥P﹣OBCD，使得PC=，点E是线段PB上一动点．（1）证明：DE和PC不可能垂直；（2）当PE=2BE时，求PD与平面CDE所成角的正弦值．2.如图，四棱锥中，底面是矩形，面底面，且是边长为的等边三角形，在上，且面.（1）求证:是的中点；（2）在上是否存在点，使二面角为直角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.3.如图，在四棱锥P-ABCD中，BA∥平面PCD，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，△APD为等腰直角三角形，.（1）证明：平面PAB⊥平面PCD；（2）若三棱锥B-PAD的体积为，求平面PAD与平面PBC所成二面角的余弦值.4.如图，在圆柱OO1中，矩形ABB1A1是过OO1的截面CC1是圆柱OO1的母线，AB=2，AA1=3，∠CAB=．（1）证明：AC1∥平面COB1；（2）在圆O所在的平面上，点C关于直线AB的对称点为D，求二面角D﹣B1C﹣B的余弦值．立体几何复习试题试卷答案1.【解答】（1）证明：如图甲所示，因为BO是梯形ABCD的高，∠BAD=45°，所以AO=OB…（1分）因为BC=1，OD=3OA，可得OD=3，OC=…（2分）如图乙所示，OP=OA=1，OC=，PC=，所以有OP2+OC2=PC2，所以OP⊥OC…（3分）而OB⊥OP，OB∩OC=O，所以OP⊥平面OPD…（4分）又OB⊥OD，所以OB、OD、OP两两垂直．故以O为原点，建立空间直角坐标系（如图），则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，3，0）设E（x，0，1﹣x），其中0≤x≤1，所以=（x，﹣3，1﹣x），=（1，1，﹣1），假设DE和SC垂直，则=0，有x﹣3+（1﹣x）（﹣1）=0，解得x=2，这与0≤x≤1矛盾，假设不成立，所以DE和SC不可能垂直…（6分）（2）解：因为PE=2BE，所以E（，0，）…（7分）设平面CDE的一个法向量是=（x，y，z），因为=（﹣1，2，0），=（，﹣3，），所以取=（2，1，5）…（10分）而=（0，3，﹣1），所以|cos＜，＞=，所以PD与平面CDE所成角的正弦值为．…（12分）2.解答：(1)证明：连交于，连是矩形，是中点.又面，且是面与面的交线，是的中点.(2)取中点，由（1）知两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为.设存在满足要求，且，则由得：，面的一个法向量为，面的一个法向量为，由，得，解得，故存在，使二面角为直角，此时.3.解：（1）依题：面，又，平面，又平面，平面平面（2），由（1）知面，取中点，，平面平面，平面，以过点且平行于的直线为轴，如图建系，各点坐标如图.由（1）易知平面的一法向量为，设平面的法向量为.，.，取，.，故所求二面角的余弦值为.4.【解答】证明：（1）连结B1C1、BC1，设BC1∩B1C=M，∵BB1CC1，∴四边形BB1C1C为平行四边形，∴M为BC1的中点，在△ABC1中，O为AB的中点，∴MO∥AC1，又AC1⊄平面B1CD，MO⊂平面B1CD，∴AC1∥平面COB1．解：（2）如图，∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC，C1C⊥BC，又∠BAC=60°，AB=2，∴AC=1，BC=，AA1=3，以点C为坐标原点，分别以CA，CB，OC1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），C1（0，0，3），O（，0），B1（0，），在圆O上，C，D关于直线AB对称，△AOC为正三角形，且OA=1，∴CD=，∠ACD=30°，过点D作DP⊥x轴，DQ⊥y轴，垂足分别为P，Q，则CP=CD•cos=，CQ=CD•sin，∴D（，0），∴=（，0），设平面CDB1的一个法向量=（x，y，z），则，取y=﹣，得=（1，﹣，1），平面B1BC的一个法向量=（1，0，0），设二面角D﹣B1C﹣B的二面角为θ，则cosθ==．故二面角D﹣B1C﹣B的余弦值为．
