2025年高中数学竞赛讲义解三角形

高中数学竞赛讲义（七）──解三角形一、基础知识在本章中约定用 A，B，C 分别表达△ABC 的三个内角，a, b, c 分别表达它们所对的各边长，为半周长。1．正弦定理：=2R（R 为△ABC 外接圆半径）。推论 1：△ABC 的面积为 S△ABC=推论 2：在△ABC 中，有 bcosC+ccosB=a.推论 3：在△ABC 中，A+B=，解 a 满足，则 a=A.正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论 1，由正弦函数定义，BC 边上的高为 bsinC，因此 S△ABC=；再证推论 2，由于 B+C=-A ， 因 此 sin(B+C)=sinA ， 即 sinBcosC+cosBsinC=sinA ， 两 边 同 乘 以 2R 得bcosC+ccosB=a；再证推论 3，由正弦定理，因此，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于 cos(-A+a)=cos(-a+A)，由于 0<-A+a，-a+A<. 因此只有-A+a=-a+A，因此 a=A，得证。2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几种常用的结论。（1）斯特瓦特定理：在△ABC 中，D 是 BC 边上任意一点，BD=p，DC=q，则 AD2= （1）【证明】 由于 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos，因此 c2=AD2+p2-2AD·pcos ①同理 b2=AD2+q2-2AD·qcos， ②由于ADB+ADC=，因此 cosADB+cosADC=0，因此 q×①+p×② 得qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即 AD2=注：在（1）式中，若 p=q，则为中线长公式（ 2 ） 海 伦 公 式 ： 由 于b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c) -a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c).这里因此 S△ABC=二、措施与例题1．面积法。例 1 （ 共 线 关 系 的 张 角 公 式 ） 如 图 所 示 ， 从 O 点 发 出 的 三 条 射 线 满 足，此外 OP，OQ，OR 的长分别为 u, w, v，这里 α，β，α+β∈(0, )，则 P，Q，R 的共线的充要条件是【证明】P，Q，R 共线(α+β)=uwsinα+vwsinβ，得证。2．正弦定理的应用。例 2 如图所示，△ABC 内有一点 P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。【证明】 过点 P 作 PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为 D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F 三组四点共圆，因此EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。因此BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。因此EDF=600，同理DEF=600，因此△DEF 是正三角形。因此 DE=EF=DF，由正弦定理，C...