不等式选讲一、绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理 1：假如 a,b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当 ab≥0 时，等号成立。注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当，不共线时，|+|≤||+||，它的几何意义就是三角形的两边之和不小于第三边。（2）不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，在侧“=”成立的条件是 ab≥0，左侧“=”成立的条件是 ab≤0 且|a|≥|b|;不等式|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是 ab≤0，左侧“=”成立的条件是 ab≥0 且|a|≥|b|。定理 2：假如 a,b,c 是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c) ≥0 时，等号成立。2．绝对值不等式的解法（1）含绝对值的不等式|x|＜a 与|x|＞a 的解集不等式a＞0a=0a＜0|x|＜a{x|-a＜x＜a}|x|＞a{x|x＞a 或 x＜-a }{x|x∈R 且 x≠0}R注：|x|以及|x-a|±|x-b|表达的几何意义（|x|表达数轴上的点 x 到原点的距离；| x-a |±|x-b|）表达数轴上的点 x 到点 a,b 的距离之和（差）（2）|ax+b|≤c(c＞0)和|ax+b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|ax+b|≤c-c≤ax+b≤c;②| ax+b|≥c ax+b≥c 或 ax+b≤-c.（3）|x-a|+|x-b|≥c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤c(c＞0)型不等式的解法措施一：运用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；措施二：运用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；措施三：通过构造函数，运用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想。二、证明不等式的基本措施1．比较法（1）作差比较法① 理论根据：a＞ba-b＞0;a＜b a-b＜0.② 证明环节：作差→变形→判断符号→得出结论。注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一种数（或式子）与0 的大小关系。（2）作商比较法① 理论根据： ② 证明环节：作商→变形→判断与 1 的大小关系→得出结论。2．综合法（1）定义：从已知条件出发，运用定义、公理、定理、性质等，通过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明措施叫做综合法。综合法又叫做推证法或由因导果法。（2）思绪：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一种（组）已知的不等式出发，不停地用必要条件替代前面的不等式，直至推导出规定证明的不等式。3．分析法（1）定义：从要证的结论出发，逐渐寻求使它成立的充足条件，直至所需条件为已知条件或一种明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从...
