全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）试题参照答案及评分原则讲明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分原则的评分档次给分；2．假如考生的解答措施和本解答不一样，只要思绪合理、环节对的，在评卷时可参照本评分原则合适划分档次评分，10 分为一种档次，不要增长其他中间档次．一、〔此题总分值 50 分〕如 题 一 图 ， 给 定 凸 四 边 形，，是 平 面 上 的 动 点 ， 令．〔Ⅰ〕求证：当达到最小值时，四点共圆；〔 Ⅱ 〕 设是外 接 圆的上 一 点 ， 满 足 ：，，，又是的切线，，求的最小值．[解法一] 〔Ⅰ〕如答一图 1，由托勒密不等式，对平面上的任意点，有 ．因此 ．由于上面不等式当且仅当顺次共圆时取等号，因此当且仅当在的外接圆且在上时，． …10 分又因，此不等式当且仅当共线且在上 时 取等 号 ． 因 此 当 且 仅 当为的 外 接 圆 与的 交 点 时 ，取 最 小 值．故当达最小值时，四点共圆． …20 分〔 Ⅱ 〕 记， 那 么， 由 正 弦 定 理 有， 从 而，即，因此，整理得， …30 分解得或〔舍去〕，故，． 由=, 有， 即答一图 1，整理得，故，可得， …40 分从而，，为等腰直角三角形．因，那么．又也 是 等 腰 直 角 三 角 形 ， 故，，．故． …50 分[解法二] 〔Ⅰ〕如答一图 2，连接交的外接圆于点〔由于在外，故在上〕．过 度不 作的 垂 线 ， 两 两 相交得，易知在内，从而在内，记之 三 内 角 分 不 为， 那 么，又因，，得，同理有，，因此∽． …10 分设，，，那么对平面上任意点，有 ，从而 ．由点的任意性，知点是使达最小值的点．由点在上，故四点共圆． …20 分〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕，的最小值 ，记， 那 么， 由 正 弦 定 理 有， 从 而，即，因此答一图 2，整理得， …30 分解得或〔舍去〕，故，． 由=,有，即，整理得，故，可得， …40 分因此，为等腰直角三角形，，，由于，点在上，，因此为矩形，， 故， 因 此． …50 分[解法三] 〔Ⅰ〕引进复平面，仍用等代表所对应的复数．由三角形不等式，有关复数，有 ，当且仅当与〔复向量〕同向时取等号．有 ，因此 〔1〕 ，从而 ． 〔2〕 …10 分〔1〕式取等号的条件是 复数 与同向，故存在实数，使得 ， ，因此 ，向量旋转到所成的角等于旋转到所成的角，从而四点共圆．〔2〕式取等号的条件明显为共线且在上．故当达最小...
