模拟试卷（一）一.选择题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。*1.当时，与比较是（）A.是较高阶的无穷小量B.是较低阶的无穷小量C.与是同阶无穷小量，但不是等价无穷小量D.与是等价无穷小量解析：故选C。*2.设函数，则等于（）A.B.C.D.解析：选C3.设，则向量在向量上的投影为（）A.B.1C.D.*4.设是二阶线性常系数微分方程的两个特解，则（）A.是所给方程的解，但不是通解B.是所给方程的解，但不一定是通解C.是所给方程的通解D.不是所给方程的通解解：当线性无关时，是方程的通解；当线性相关时，不是通解，故应选B。*5.设幂级数在处收敛，则该级数在处必定（）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性不能确定解：在处收敛，故幂级数的收敛半径，收敛区间，而，故在处绝对收敛。故应选C。二.填空题：本大题共10个小题，10个空。每空4分，共40分，把答案写在题中横线上。6.设，则_________。7.，则__________。8.函数在区间上的最小值是__________。9.设，则__________。*10.定积分__________。解：*11.广义积分__________。解：*12.设，则__________。13.微分方程的通解为__________。*14.幂级数的收敛半径为__________。解：，所以收敛半径为15.设区域D由y轴，，所围成，则__________。三.解答题：本大题共13个小题，共90分，第16题～第25题每小题6分，第26题～第28题每小题10分。解答时要求写出推理，演算步骤。16.求极限。*17.设，试确定k的值使在点处连续。解：要使在处连续，应有18.设，求曲线上点（1，2e+1）处的切线方程。19.设是的原函数，求。20.设，求。*21.已知平面，。求过点且与平面都垂直的平面的方程。的法向量为，的法向量所求平面与都垂直，故的法向量为所求平面又过点，故其方程为：即：22.判定级数的收敛性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。*23.求微分方程满足初始条件的特解。由，故所求特解为*24.求，其中区域D是由曲线及所围成。因区域关于y轴对称，而x是奇函数，故*25.求微分方程的通解。解：特征方程：故对应的齐次方程的通解为（1）因是特征值，故可设特解为代入原方程并整理得：故所求通解为：26.求函数的极值点与极值，并指出曲线的凸凹区间。*27.将函数展开成x的幂级数。*28.求函数的极值点与极植。解：令解得唯一的驻点（2，-2）由且，知（2，-2）是的极大值点极大值为【试题答案】一.1.故选C。2.选C3.解：上的投影为：应选B4.解：当线性无关时，是方程的通解；当线性相关时，不是通解，故应选B。5.解：在处收敛，故幂级数的收敛半径，收敛区间，而，故在处绝对收敛。故应选C。二.6.解：令得：7.由8.解：，故y在[1，5]上严格单调递增，于是最小值是。9.解：10.解：11.解：12.13.解：特征方程为：通解为14.解：，所以收敛半径为15.解：三.16.解：17.解：要使在处连续，应有18.解：，切线的斜率为切线方程为：，即19.是的原函数20.解：21.的法向量为，的法向量所求平面与都垂直，故的法向量为所求平面又过点，故其方程为：即：22.解：满足（i），（ii）由莱布尼兹判别法知级数收敛又因，令，则与同时发散。故原级数条件收敛。23.由，故所求特解为24.因区域关于y轴对称，而x是奇函数，故25.解：特征方程：故对应的齐次方程的通解为（1）因是特征值，故可设特解为代入原方程并整理得：故所求通解为：26.，令得驻点，又故是的极小值点，极小值为：因，曲线是上凹的27.28.解：令解得唯一的驻点（2，-2）由且，知（2，-2）是的极大值点极大值为
