处理球的“内切”“外接”问题 与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接。作为这种特殊的位置关系在高考中也是考查的重点，但同学们又因缺乏较强的空间想象能力而感到模糊。解决这类题目时要认真分析图形，明确切点和接点的位置及球心的位置，画好截面图是关键，可使这类问题迎刃而解。 一、棱锥的内切、外接球问题例 1.正四面体的外接球和内切球的半径是多少？ 分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图 1 所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为．由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．正四面体的表面积．正四面体的体积， 在中，，即，得，得【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为 ( 为正四面体的高)，且外接球的半径，从而可以通过截面图中建立棱长与半径之间的关系。例 2．设棱锥的底面是正方形，且，，如果的面积为 1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解： 平面，图 2图 1由此，面面.记是的中点，从而.平面，设球是与平面、平面、平面都相切的球.如图 2，得截面图及内切圆不妨设平面，于是是的内心.设球的半径为，则，设,.,当且仅当，即时，等号成立.∴当时，满足条件的球最大半径为. 练习：一个正四面体内切球的表面积为，求正四面体的棱长。（答案为：）【点评】根据棱锥的对称性确定内切球与各面的切点位置，作出截面图是解题的关键。二、球与棱柱的组合体问题1． 正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。如图 3，截面图为正方形的内切圆，得；2． 与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图 4 作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。图 3图 4图 53． 正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图 5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。例 3.在球面上有四个点、、、.如果、、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是______.解：由已知可得、、实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点的一条对角线，则过球心，对角线练习：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。（答案为）4．构造直三角形，巧解正...
