考点一抛物线的定义及其标准方程1．(2015·陕西，3)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为()A．(－1，0)B．(1，0)C．(0，－1)D．(0，1)解析由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题意得－＝－1，p＝2，焦点坐标为，故选B.答案B2．(2014·新课标全国Ⅰ，10)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.答案A3．(2013·四川，5)抛物线y2＝8x的焦点到直线x－y＝0的距离是()A．2B．2C.D．1解析抛物线y2＝8x的焦点(2，0)到直线x－y＝0的距离是1.答案D4．(2013·新课标全国Ⅰ，8)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝4，则△POF的面积为()A．2B．2C．2D．4解析利用|PF|＝xP＋＝4，可得xP＝3.∴yP＝±2.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝2.故选C.答案C5．(2014·上海，4)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为________．解析 c2＝9－5＝4，∴c＝2.∴椭圆＋＝1的右焦点为(2，0)，∴＝2，即抛物线的准线方程为x＝－2.答案x＝－26．(2014·湖南，14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________．解析设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.过点P(－1，0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．由得ky2－4y＋4k＝0.当k＝0时，显然不符合题意；当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案(－∞，－1)∪(1，＋∞)7．(2013·北京，9)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1，0)，则p＝________；准线方程为____________．解析根据抛物线定义＝1，∴p＝2，又准线方程为x＝－＝－1，故填2，x＝－1.答案2x＝－18．(2012·陕西，14)右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的方程为x2＝－2py(p＞0)，由点(2，－2)在抛物线上，可得p＝1，则抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x＝±，所以水面宽2米．答案29．(2012·安徽，14)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________．解析设直线AB的倾斜角为θ，则由|AF|＝3，p＝2，得cosθ＝，∴|BF|＝.答案10．(2015·浙江，19)如图，已知抛物线C1：y＝x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t＞0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)．由消去y，整理得：x2－4kx＋4kt＝0，由于直线PA与抛物线相切，得k＝t，因此，点A的坐标为(2t，t2)．设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知：点B，O关于直线PD对称，故解得因此，点B的坐标为.(2)由(1)知，|AP|＝t·和直线PA的方程tx－y－t2＝0，点B到直线PA的距离是d＝，设△PAB的面积为S(t)，所以S(t)＝|AP|·d＝.11．(2014·福建，21)已知曲线Γ上的点到点F(0，1)的距离比它到直线y＝－3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程；(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A，直线y＝3分别与直线l及y轴交于点M，N.以MN为直径作圆C，过点A作圆C的切线，切点为B.试探究：当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时，线段AB的长度是否发生变化？证明你的结论．解法一(1)设S(x，y)为曲线Γ上任意一点，依题意，点S到F(0，1)的距离与它到直线y＝－1的距离相等．所以曲线Γ是以点F(0，1)为焦点、直线y＝－1为准线的抛物线，所以曲线Γ的方程为x2＝4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时，线段AB的长度不变．证明如下：由(1)知抛物线Γ的方程为y＝x2，设P(x0，y0)(x0≠0)，则y0...
