考点一抛物线的定义及其标准方程1.(2015·陕西,3)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)解析由于抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由题意得-=-1,p=2,焦点坐标为,故选B.答案B2.(2014·新课标全国Ⅰ,10)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=()A.1B.2C.4D.8解析由题意知抛物线的准线为x=-.因为|AF|=x0,根据抛物线的定义可得x0+=|AF|=x0,解得x0=1,故选A.答案A3.(2013·四川,5)抛物线y2=8x的焦点到直线x-y=0的距离是()A.2B.2C.D.1解析抛物线y2=8x的焦点(2,0)到直线x-y=0的距离是1.答案D4.(2013·新课标全国Ⅰ,8)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4x的焦点,P为C上一点,若|PF|=4,则△POF的面积为()A.2B.2C.2D.4解析利用|PF|=xP+=4,可得xP=3.∴yP=±2.∴S△POF=|OF|·|yP|=2.故选C.答案C5.(2014·上海,4)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为________.解析 c2=9-5=4,∴c=2.∴椭圆+=1的右焦点为(2,0),∴=2,即抛物线的准线方程为x=-2.答案x=-26.(2014·湖南,14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是________.解析设机器人为A(x,y),依题意得点A在以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的抛物线上,该抛物线的标准方程为y2=4x.过点P(-1,0),斜率为k的直线为y=k(x+1).由得ky2-4y+4k=0.当k=0时,显然不符合题意;当k≠0时,依题意得Δ=(-4)2-4k·4k<0,化简得k2-1>0,解得k>1或k<-1,因此k的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞).答案(-∞,-1)∪(1,+∞)7.(2013·北京,9)若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=________;准线方程为____________.解析根据抛物线定义=1,∴p=2,又准线方程为x=-=-1,故填2,x=-1.答案2x=-18.(2012·陕西,14)右图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米.解析建立如图所示的平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),由点(2,-2)在抛物线上,可得p=1,则抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±,所以水面宽2米.答案29.(2012·安徽,14)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若|AF|=3,则|BF|=________.解析设直线AB的倾斜角为θ,则由|AF|=3,p=2,得cosθ=,∴|BF|=.答案10.(2015·浙江,19)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t>0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标;(2)求△PAB的面积.注:直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行,则称该直线与抛物线相切,称该公共点为切点.解(1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由消去y,整理得:x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t,因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0),由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知,|AP|=t·和直线PA的方程tx-y-t2=0,点B到直线PA的距离是d=,设△PAB的面积为S(t),所以S(t)=|AP|·d=.11.(2014·福建,21)已知曲线Γ上的点到点F(0,1)的距离比它到直线y=-3的距离小2.(1)求曲线Γ的方程;(2)曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A,直线y=3分别与直线l及y轴交于点M,N.以MN为直径作圆C,过点A作圆C的切线,切点为B.试探究:当点P在曲线Γ上运动(点P与原点不重合)时,线段AB的长度是否发生变化?证明你的结论.解法一(1)设S(x,y)为曲线Γ上任意一点,依题意,点S到F(0,1)的距离与它到直线y=-1的距离相等.所以曲线Γ是以点F(0,1)为焦点、直线y=-1为准线的抛物线,所以曲线Γ的方程为x2=4y.(2)当点P在曲线Γ上运动时,线段AB的长度不变.证明如下:由(1)知抛物线Γ的方程为y=x2,设P(x0,y0)(x0≠0),则y0...