空间向量测试题VIP免费

考点20空间向量1.（2010·广东高考理科·Ｔ１0）若向量ar=（1,1,x）,br=(1,2,1),cr=(1,1,1),满足条件()(2)cabrrr=-2,则x=.【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】先算出ca、2b，再由向量的数量积列出方程，从而求出.x【规范解答】ca(0,0,1)x，2(2,4,2)b，由()(2)cabrrr2得(0,0,1)(2,4,2)2x，即2(1)2x，解得2.x【答案】22.（2010·浙江高考理科·Ｔ20）如图，在矩形ABCD中，点,EF分别在线段,ABAD上，243AEEBAFFD.沿直线EF将AEFV翻折成'AEFV，使平面'AEFBEF平面.（Ⅰ）求二面角'AFDC的余弦值；（Ⅱ）点,MN分别在线段,FDBC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与'A重合，求线段FM的长。【命题立意】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用几何法解决求二面角问题和翻折问题。【规范解答】方法一：（Ⅰ）取线段EF的中点H，连结'AH，因为'AE='AF及H是EF的中点，所以'AHEF,又因为平面'AEF平面BEF.如图建立空间直角坐标系A-xyz，则'A（2，2，22），C（10，8，0），F（4，0，0），D（10，0，0）.故'FA=（-2，2，22），FD=（6，0，0）.设n=（x,y,z）为平面'AFD的一个法向量，所以2222060xyzx。取2z，则(0,2,2)n。又平面BEF的一个法向量(0,0,1)m，故3cos,3nmnmnm。所以二面角的余弦值为33（Ⅱ）设,FMxBNa，则(4,0,0)Mx，(,8,0)Na，因为翻折后，C与'A重合，所以'CMAM，'CNAN，故，2222222222(6)80=2222(10)(2)6(22)xxaa（）（），得214x，134a，所以214FM。方法二：（Ⅰ）取线段EF的中点H,AF的中点G,连结',',AGAHGH。因为'AE='AF及H是EF的中点，所以'AHEF。又因为平面'AEF平面BEF，所以'AH平面BEF,又AF平面BEF,故'AHAF。又因为G、H是AF、EF的中点，易知GH∥AB，所以GHAF，于是AF面'AGH，所以'AGH为二面角'ADHC的平面角，在'RtAGH中，'AH=22，GH=2，'AG=23，所以3cos'3AGH.故二面角'ADFC的余弦值为33。（Ⅱ）设FMx,因为翻折后，C与'A重合，所以'CMAM，而222228(6)CMDCDMx，222222'''AMAHMHAHMGGH2(22)+2(2)x+22得214x，经检验，此时点N在线段BC上，所以214FM。【方法技巧】1、利用向量法解决立体几何问题关键是建系，一般要找到三个互相垂直的直线建系，这种方法思路相对简单，但计算量大；2、翻折问题要找好在翻折的过程中变化的与不变化的量，看好点、线、面等元素间位置关系的变化。3.（2010·陕西高考理科·Ｔ１8）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=22，E，F分别是AD,PC的中点.（Ⅰ）证明：PC⊥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面BAP夹角的大小。【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧。【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用几何法求解.【规范解答】解法一（Ⅰ）如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系. AP=AB=2，BC=22，四边形ABCD是矩形.∴A，B，C，D的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,22,0)，D(0，22，0)，P(0,0,2)又E，F分别是AD，PC的中点，∴E(0，2，0),F(1，2，1).∴PC�=（2，22，-2）BF�=（-1，2，1）EF�=（1,0,1），∴PC�·BF�=-2+4-2=0，PC�·EF�=2+0-2=0，∴PC�⊥BF�，PC�⊥EF�，∴PC⊥BF,PC⊥EF,BFEFF,∴PC⊥平面BEF（II）由（I）知平面BEF的法向量1(2,22,2),nPC�平面BAP的法向量2(0,22,0),nAD�128,nn�设平面BEF与平面BAP的夹角为，则12121282coscos,,2422nnnnnn���∴045，...