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线性代数辅导二次型教学设计

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线性代数辅导线性代数辅导二次型【基本要求】1.掌握理解二次型及其矩阵表示。2.会用正交变换法及配方法化二次型为标准形。3.了解掌握二次型的秩、惯性定律、二次型的正定性及其判别法。【主要内容】<1> 二次型的正、负定判断:1 .阶实对称矩阵A 正定二次型是正定的它的正惯性指数=nA 的所有特征值A 的顺序主子式全大于零A 合同于E 。2 .阶实对称矩阵A 负定二次型是负定的它的负惯性指数=nA 的所有特征值n 个顺序主子行列式的值负正相间<2> 合同矩阵:1. 设均为阶实对称矩阵,如果有阶实可逆矩阵存在,使得,则称合同于,记为2. 任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵。3. 实对称矩阵的充要条件是:二次型与有相同的正、负惯性指数;必要条件是<3> 化二次型为标准型:1 .配方法2 .正交变换法注:正交变换化二次型为标准型时,标准型中平方项系数必是矩阵A 的n 个特征值,而配方法没有这个属性。【典型例题】例 1 用配方法将下列二次型化为标准型,并写出所做的实可逆线性变换 (1) (2) (3) 解:(1) 49第六章 二次型 令 , 则。 (2) 分析:此题仅含有混合项,需先想办法生成平方项。令 , 则 令 , 则 , 即 于是得 (3) 令 , 则 注意:1.用配方法化二次型为标准形时,一定要保证所做的线性变换为可逆线性变换,特别是此例第三小题,最后只有一个平方项,其变换中的后两个等式也不能少。2.用配方法化二次型为标准形时,所做的可逆线性变换要保证变量个数不变。 例 2 用正交变换将二次型化为标准型。解: 二次型的矩阵为 ,其特征方程为:则 A 的特征值是 ,对,解,得; 对,解 得;50线性代数辅导对,解,得。显然是两两正交的特征向量,令,则 P 为正交矩阵,所以,令 , 则例 3 设 正定,求的取值范围。 解: 二次型的矩阵为 , 其顺序主子式分别为 由于正定,得 , .例 4 设为阶实对称矩阵,证明当充分大时,为正定矩阵。证明: 设的特征值为,为对应的特征向量, 又,的特征值为。取,则的所有特征值均大于 0,所以,当充分大时,为正定矩阵。例5设、均为 阶正定矩阵,证明也是正定矩阵。 证明:(用定义证明) A、均为 阶正定矩阵,则对任意 维非零实列向量,均有, 即为正定矩阵。【自我练习及解答】一、填空题 (1)若二次型是正定的,则t 的取值范围是 。 (2)设,则 正定矩阵; 式子 51第六章 二次型 二次型;式子 二次型(填“是”或者“不是”).二、选择题(1)...

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