2025年上海市高中数学竞赛新知杯试卷及答案VIP专享

上海市高中数学竞赛（新知杯)试卷【阐明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题(本题满分 60 分，前４题每题 7 分,后 4 小题每题８分）１．如图,正六边形的边长为１,它的 6 条对角线又围成一种正六边形,如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是.2．已知正整数满足：，则的最小也许值是．3．若，,,则．4．已知有关的方程仅有一种实数解,则实数的取值范围是．5.如图，是边长为的正方形的内接三角形,已知，,则．6.方程的非负整数解．７．一种口袋里有５个大小同样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的，一种是黑色的,依次从中摸出 5个小球，相邻两个小球的颜色均不相似的概率是．(用数字作答）8．数列定义如下:.若，则正整数的最小值为．二、解答题9.(本题满分 14 分）如图,在平行四边形 ABCD 中,，,对角线 AC 与 BD 的夹角,记直线 A Ｂ与 C Ｄ的距离为.求的体现式，并写出 x 的取值范围.10.(本题满分 14 分）给定实数，求函数的最小值.11.(本题满分 1 ６分）正实数满足;求证：（1)；（2）．12．(本题满分 16 分）给定整数,记为集合的满足如下两个条件的子集 A 的元素个数的最小值：①；② A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个（可以相似）元素的和．（1)求的值；(2)求证:.２ 012 上海市高中数学竞赛（新知杯)参照答案1、 2、９２ 3、11 ４、5、 6、7、 8、4 ０ 2 ５9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得． ①…………………(２分)在△O Ｂ C 中，由余弦定理，因此 , ②由①,② 得.③…………………(5 分）因此:,故:，因此 ：． …………………（10 分)由③可得，,故．由于,结合②,③ 可得：，解得(结合）. 综上所述，，． …………………(14 分）1 ０.解 . 当时,,此时：,且当时不等式等号成立，故．………（6 分)当时,，此时“耐克”函数在内是递减，故此时. 综上所述,…………………(14 分)11．证 (1）记,由平均不等式：.…………………(4 分)于是 ，因此 ，而,因此,即,从而. …………………（10 分） （2)又由于:，因此 ，故 ． …………………(16 分）１ 2 ． 解 ( １ ） 设 集 合, 且 A 满 足 （ a) ， ( ｂ ） . 则. 由 于不满足（b），故.又 都不满足 （b），故.而集合满足(a）,（b），因此.…………………(6 分) （2）首先证明：． ①实际上,若，满足(ａ），（b），且 A 的元素个数为．令，由于,故．又，...