习题二包括题目：P36页5（1）（4）5（4）习题三包括题目：P61页1(1)(2);3;5;6;14；15(1)1(1)(2)的解如下3题的解如下5,6题14题解如下14.设,求点在处的牛顿方向。解：已知，由题意得∴∴∴15（1）解如下15.用DFP方法求下列问题的极小点（1）解：取，时，DFP法的第一步与最速下降法相同，，，以下作第二次迭代，其中，，所以令，利用，求得所以，以下作第三次迭代，，所以令，利用，求得所以，因为，于是停止即为最优解。习题四包括题目：P95页3；4；8；9(1)；12选做；13选做3题解如下3.考虑问题，其中（1）画出此问题的可行域和等值线的图形；（2）利用几何图形求出此问题的最优解及最优值；（3）分别对点指出哪些约束是紧约束和松约束。解：（1）如图所示，此问题的可行域是以O点为圆心，1为半径的圆的上半部分；等值线是平行于直线x2=2x1的一系列平行线，范围在如图所示的两条虚线内。（2）要求f的最小值，即求出这一系列平行线中与x2轴相交，所得截点纵坐标的最大值。显然当直线在虚线1的位置，能取得极值。如图求出切点，此点即为最优解，解得最优值（3）对于区间集S可以简化为g1:g2:对于点，g1和g2均为该点处的紧约束；PO1x1x2x2=2x1xp11/2虚线1对于点，g1和g2均为该点处的松约束；对于点，g1为该点的松约束，g2为该点的紧约束；对于点，g1为该点的紧约束，g2为该点的松约束。4题解如下4.试写出下列问题的K-T条件，并利用所得到的表达式求出它们的最优解：（1）s.t.（2）s.t.（1）解：非线性规划的K-T条件如下：（1）（2）（3）再加上约束条件（4）为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑：①若（4）式等号不成立，即，那么由（2）式得，将代入（1）式解得，，所得值不满足的条件，故舍去。②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得，，代入（4）式有：解得因为，所以，那么，，满足以上所有条件。综上所述，所求非线性规划有唯一的K-T点为：(2)解：非线性规划的K-T条件如下：（1）（2）（3）再加上约束条件（4）为求出满足（1）~（4）式的解，分情况考虑：①若（4）式等号不成立，即，那么由（2）式得，将代入（1）式解得，，所得值满足以上所有约束。②若（4）式等号成立，由（1）式可以解得，，代入（4）式有：解得因为，所以所得值均舍去，该情况不成立。综上所述，所求非线性规划有唯一的K-T点为：8题解如下8考虑问题Minx12+x1x2+2x22-6x1-2x2-12x3S.t.X1+x2+x3=2（1）-x1+2x2≤3（2）X1,x2,x3≥0（3）求出点（1,1,0）处的一个下降可行方向.解：首先检查在点（1,1,0）处哪些约束为有效约束。检查易知（1），X3≥0为有效约束。设所求可行方向d=(d1,d2,d3)T。根据可行方向d的定义，应存在a>0，使对∀t∈（0，a）能有X+td=(1+td1,1+td2,0+td3)T也能满足所有有效约束：(1+td1)+(1+td2)+(0+td3)=2td3≥0经整理即为d1+d2+d3=0d3≥0满足上述不等式组的d=(d1,d2,d3)T均为可行方向。现只求一个可行方向，所以任取d3=1，求解d1+d2=-d3得d1+d2=-1，可任取d1=1，d2=-2得一可行方向d=（1，-2，1）T考虑下降性由题可知：将目标函数化为f(x)=1/2XTQX+bTX+C从而▽f=QX+b即▽f（1,1,0）=（-3,3，-12）因为▽f（1,1,0）Td=-21<0表明d=（1,-2，1）T为原问题在x=（1,1,0）T处的一个下降可行方向9题解如下9用lemke算法解下列问题：（1）min2x12+2x22-2x1x2-4x1-6x2S.t.X1+x2≤2X1+5x2≤5X1,x2≥0解：，，，于是，，，与本题相应的线性互补问题为：W-MZ=qW≥0,Z≥0WTZ=0写成表格为W11W22W33W44Z15Z26Z37Z48qdi01000001120100001550010-1-1-42-40001-1-52-4-6由于右端有负数，所以加一人工变量W0，表格改为W11W22W33W44Z15Z26Z37Z48W09qdi010000011-1201000015-150010-1-1-42-1-40001-1-52-4-1-6选择与max{-qi}=-q4=6相应的第4行第9列元素作主元进行旋转，得JBiW11W22W33W44Z15Z26Z37Z48W09qdi01100-115-15082010-115-190113001-104-66029000-115-2416由上表可看出仅w4，z4这一对变量全部不是基变量，因此从它们之中选一个进基，由于第一次碰到这一对变量，故选z4进基.在所选列中，有Min{8/5,11/9,2/6,6/4}=2/6故选相应的第3行第8列元素作主元，再进行旋转，得JBi123456789di0110-5/6-1/6110/6400...
