减少解析几何运算量的常用策略

NMxy2Fo图１1FQP减少解析几何运算量的常用策略浙江省上虞中学 谢全苗（312300）解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，运用解题的思维策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量1． 回到定义定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程．有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”．例 1 一直线被两直线l1：2 x+ y+3=0 和l2 ：2 x−3 y−6=0 截得的线段的中点恰好是坐标的原点．求这条直线的方程．简析略解：此题的一般求解思路是：先求出l 分别与l1、l2 的交点（用k l表示），然后利用中点坐标公式求出k l，进而得到l 的方程，这样运算量太大．如果我们对直线与方程的定义有深刻的理解，就会自觉地利用定义，并结合运用设而不求的技巧来寻求简捷解法．设l 分别与l1、l2 交于点M 、N ，又设M 的坐标为（x1, y1），则有2 x1+ y1+3=0①又因为M 、N 关于O 对称，所以点N 的坐标为（−x1,− y1），则有−2 x+3 y−6=0②×① ２＋②，得2 x1+5 y1=0．可见M ( x1, y1）在l ：2 x+5 y=0上，又此直线过原点，由两点确定一直线知所求直线的方程为2 x+5 y=0．例 2 已知分别是椭圆的左右焦点，是该椭圆上的一动点，是的外角平分线，于，求动点的轨迹方程．略解：设，延长和直线相交于，则，且≌． 所以，，12 003yy124yy22224580xy由椭圆的定义得：．所以 ， 即所以，动点的轨迹方程为．２．设而不求例３ 已知的三个顶点都在椭圆上，若，重心是椭圆的右焦点，求直线的方程．简析略解：因为椭圆的短轴的顶点，右焦点为重心，所以的坐标与三顶点的坐标有关，故设，则 又因为在椭圆上，故由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ两点的坐标，再求直线的方程．对思维监控评价：这里解题的方向是正确的，但通过四个方程来求出四个坐标的运算是比较麻烦的，能否有比较简单的途径呢？由③－④得：．由题意知：，将①、②整体代入得 ，这个正好是直线的斜率 ，而的中点坐标，即，所以直线的方程为：．问题之所以得到简捷地解答，就是用了设而不求的策略．３．用好对称数学中的...