第 4 课时 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系，常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立，由所得方程组的解的个数来决定，一般地，消元后所得一元二次方程的判别式记为△，△>0 时，有两个公共点，△＝0 时，有一个公共点，△<0 时，没有公共点．但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解（即直线与曲线只有一个交点）时，直线与曲线未必相切，在判定此类情形时，应注意数形结合．（对于双曲线，重点注意与渐近线平行的直线，对于抛物线，重点注意与对称轴平行的直线）2．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦 AB 端点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2),直线 AB 的斜率为 k，则：｜AB｜=————————或：—————————．利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算．3．中点弦问题：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭 圆上不同的两点，且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为AB 的中点，则 两式相减可得即 ．对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．例 1. 直线 y＝ax＋1 与双曲线 3x2－y2＝1 相交于 A、B 两点．(1) 当 a 为何值时，A、B 两点在双曲线的同一支上？当 a 为何值时，A、B 两点分别在双曲线的两支上？(2) 当 a 为何值时，以 AB 为直径的圆过原点？解： (1) 联立 (3－a2)x2－2ax－2＝0 ①显然 a2≠3，否则方程①只有一解，于是直线与双曲线至多一个交点．若交点 A、B 在双曲线同支上，则方程①满足：a∈(－，－)∪(，)若 A、B 分别在双曲线的两支上，则有：a∈(－，)典型例题基础过关消去 y(2) 若以 AB 为直径的圆过点 O，则 OA⊥OB，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)由于 x1＋x2＝，x1x2＝．∴y1y2＝(ax1＋1)(ax2＋1)＝a(x1＋x2)＋a2x1x2＋1＝a2·＋a·＋1＝1 OA⊥OB ∴x1x2＋y1y2＝0 ∴＋1a＝±1此时△＞0，符合要求．变式训练1：已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一个公共点，求实数a的值.解：联立方程为(1) 当 a＝0 时，此时方程组恰有一组解 (2) 当 a≠0 时，消去 x 得① 若＝0，即 a＝－1 方程变为一次方程，－y－1＝0，方程组恰有一组解② 若≠0，即 a≠－1，令△＝0得 1＋，解得 a＝－此时直线与曲线相切，恰有一个公共点，综上所述知，当 a＝0，－1，－时，直线与曲线只有一个公共点．例 2. 已知双曲线方程 2x2－y2＝2.(1) 求以 A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线...
