数乘向量及坐标运算●考试目标 主词填空1.实数与向量的积a 与 λa 同向的充要条件是 λ>0.a 与 λa 反向的充要条件是 λ<0.λ·(a+b)=λ a + λ b λ·(a-b)=λ a - λ b 设 a=(x,y),则 λa=( λ x , λ y ) .2.向量的坐标运算设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)a+b=,a-b=,a=bx1=x2 且 y1-y2,a∥b(a≠0,b≠0)x1y2-x2y1=0.3.三点共线的充要条件A、B、C 三点共线存在 λ∈R,使=λ.4.平面向量的基本定理如果 e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a 有且只有一对数 λ1,λ2,使 a=λ1e1+λ2e2.●题型示例 点津归纳【例 1】 设 e1、e2是不共线的向量，已知向量=2e1+ke2, =e1+3e2,=2e1-e2,若A、B、D 三点共线，求 k 值.【解前点津】 因 A、B、D 三点共线，故存在实数 λ,使=λ由此等式可得关于 λ,k的方程组，从而可求得 k 值.【规范解答】 由条件得:=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2.因 A、B、D 三点共线，故存在实数 λ,使=λ,所以 2e1+ke2=λ(e1-e2)λ=2 且 k=-4λ,∴k=-8.【解后归纳】 利用两个向量共线的充要条件列方程是常用方法.【例 2】 一艘船以 5 km/h 速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30°角，求水流速度与船的实际速度.【解前点津】 用向量分别表示水流速度，船向垂直于对岸行驶的速度，船实际速度，将这三个向量的始点归结在一处,利用图形特点求解.【规范解答】 如图，表示水流速度，表示船向垂直于对岸行驶的速度,表示船实际速度，∠AOC=30°,||=5 km/h. OACB 为 矩 形 ， ||=||·cot30°=||·cot30°=5=8.66(km/h),||=10km/h.所以，水流速度为 8.66km/h,船实际速度为 10km/h.【解后归纳】 有些物理量本身就可用向量表示.熟悉物理知识背景，数形结合，是应用向量工具的一项基本功.【例 3】 (1)证明:三个两两不平行的向量 a,b,c 可以构成一个三角形(每个向量的始点重1例 2 题图合于别处二个向量中的一个向量的终点)的充要条件是:a+b+c=0.(2)证明三角形的三个中线向量可以构成一个三角形.【解前点津】 利用(1)的结论证明(2).用三条边所在的向量分别表示三条中线.通过运算可获结论.【规范解答】 (1)充分性: a+b+c=0,∴a+b=-c 根据三角形法则,三个两两不平行的向量a、b、c 可以构成一个三角形;必要性: 向量 a、b、c 可以构成一个三角形，∴不妨设在△ABC 中,=a,=b,=c,根据多边形法则, ++==0,∴a+b+c=...
