８.２(1) 向量的数量积（1） 教学目标设计1．通过物理学中力的做功，领会向量的数量积的定义及几何意义；理解向量数量积的性质及运算律；2．领略猜想、论证的数学思想，体会其中的数学思维过程；3．感捂数学来自于生活实践，数学与其它自然科学密切相关，增强学习数学的兴趣．教学重点及难点重点：平面向量的数量积的定义、性质的及其初步应用难点：向量的数量积性质的应用教学用具准备直尺，投影仪教学过程设计一．情景引入 我们学过功的概念：即一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功 ，其中表示一个什么角度？ 表示力的方向与位移的方向的夹角． 基于这种运算的大量存在和普遍应用，我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象，就一般向量，来规定的含义.二．学习新课首先学习向量的夹角的概念．1． 对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中.1f�s� ① ② ③ ④① 的夹角为，向量与向量方向相同；② 的夹角为，向量与向量方向相反；所以时，表示向量与向量平行, 记作；③ 的夹角为；其中当时，表示向量与向量垂直,记作；④ 的夹角为规定：与其它向量的夹角可根据需要确定.2．如果两个非零向量的夹角为 （），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即.按数量积的定义，在力的作用下，物体产生位移所做的功可表示为：.特别地,的数量积记作,读作向量的数量平方,显然.规定： 零向量与任意向量的数量积为，即，．注意：① 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定． ② 一种新的运算法则，以前所学的数的运算律、性质不一定适合．OABOOOAAABBB2OAB2③ 不能写成，表示向量的另一种运算．例 1 如图，已知是边长为 6 的正三角形，求和．（课本 P64 例 1）解： 因为，所以 ＝ 因为 ＝3．数量积的几何意义定义：叫做向量在方向上的投影．注意：① 投影也是一个数量，不是向量． ② 当为锐角时投影为正值； 当为钝角时投影为负值； 当为直角时投影为 0； 当时投影为； 当时投影为．3a�a�AOOBOB1Ob�AOOBOB1Ob�AOOBO(B1)O b�ABC60120向量的数量积的几何意义： 数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积．正如物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方向上的力做功．思考: 向量在方向上的投影,能否由的运算表示?答: 根据的数量积定义可知: 由此可知向量在方向上的射影线段长短4．向量的数量积的运算性质对于，...
