6.4 数列求和考情分析掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法基础知识数列求和的常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和(1)等差数列的前 n 项和公式：Sn＝＝na1＋d；(2)等比数列的前 n 项和公式：Sn＝2．倒序相加法如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的 前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．4．裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．5．分组转化求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．6．并项求和法一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.注意事项1.一般数列求和，应从通项入 手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．2.在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．3.(1)＝－；(2)＝；(3)＝－.题型一 公式法求和【例 1】在等比数列{an}中，a3＝9，a6＝243，求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和公式Sn，并求 a9和 S8的值．解 在等比数列{an}中，设首项为 a1，公比为 q，由 a3＝9，a6＝243，得 q3＝＝＝27，∴q＝3.由 a1q2＝a3，得 9a1＝9，∴a1＝1.于是，数列{an}的通项公式为 an＝1×3n－1＝3n－1，前 n 项和公式为 Sn＝＝.由此得 a9＝39－1＝6 561，S8＝＝3 280.【变式 1】►已知数列{an}是首项 a1＝ 4，公比 q≠1 的等比数列，Sn 是其前 n 项和，且4a1，a5，－2a3成等差数列．(1)求公比 q 的值；(2)求 Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n的值．解 (1)由题意得 2a5＝4a1－2a3. {an}是等比数列且 a1＝4，公比 q≠1，∴2a1q4＝4a1－2a1q2，∴q4＋q2－2＝0，解得 q2＝－2(舍去)或 ...
