第4讲数列求和板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为()A．2n＋n2－1B．2n＋1＋n2－1C．2n＋1＋n2－2D．2n＋n－2答案C解析Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(21＋2×1－1)＋(22＋2×2－1)＋(23＋2×3－1)＋…＋(2n＋2n－1)＝(2＋22＋…＋2n)＋2(1＋2＋3＋…＋n)－n＝＋2×－n＝2(2n－1)＋n2＋n－n＝2n＋1＋n2－2.2．[2017·全国卷Ⅲ]等差数列的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8答案A解析由已知条件可得a1＝1，d≠0，由a＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2.所以S6＝6×1＋＝－24.故选A.3．[2018·江南十校联考]已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2017＝()A.－1B.－1C.－1D.＋1答案C解析由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.所以an＝＝＝－，S2017＝a1＋a2＋a3＋…＋a2017＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＝－1.故选C.4．[2018·金版创新]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，当n≥2时，an＋2Sn－1＝n，则S2017的值为()A．2017B．2016C．1009D．1007答案C解析因为an＋2Sn－1＝n，n≥2，所以an＋1＋2Sn＝n＋1，n≥1，两式相减得an＋1＋an＝1，n≥2.又a1＝1，所以S2017＝a1＋(a2＋a3)＋…＋(a2016＋a2017)＝1009.故选C.5．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于()A．(3n－1)2B.(9n－1)C．9n－1D.(3n－1)答案B解析因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．则n≥2时，an＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2·3n－1(n∈N*)．则数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．故选B.6．[2017·郑州模拟]设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.答案130解析由an＝2n－10(n∈N*)知，{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0，得n≥5，所以当n<5时，an<0，当n≥5时，an≥0，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.7．化简Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的结果是________．答案2n＋1－n－2解析Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1，①2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋3×2n－2＋2×2n－1＋2n，②②－①，得Sn＝－n＋2＋22＋…＋2n－2＋2n－1＋2n＝－n＋＝2n＋1－n－2.8．[2017·全国卷Ⅱ]等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________.答案解析设等差数列{an}的公差为d，则由得∴Sn＝n·1＋×1＝，＝＝2，∴＝＋＋＋…＋＝2＝2＝.9．[2018·衡阳模拟]在等比数列{an}中，公比q≠1，等差数列{bn}满足b1＝a1＝3，b4＝a2，b13＝a3.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记cn＝(－1)nbn＋an，求数列{cn}的前2n项和S2n.解(1)由题意，b1＝a1＝3，b4＝a2＝3q，b13＝a3＝3q2.又 {bn}为等差数列，设公差为d，∴化简得q2－4q＋3＝0，∴q＝1(舍)或q＝3，∴an＝3n， d＝＝2，∴bn＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(2)由题意得cn＝(－1)n(2n＋1)＋3n.S2n＝－3＋3＋5＋32－7＋33＋…－(4n－1)＋32n－1＋(4n＋1)＋32n＝(3＋32＋…＋32n)＋[－3＋5－7＋9－…－(4n－1)＋(4n＋1)]＝＋{(5－3)＋(9－7)＋…＋[(4n＋1)－(4n－1)]}＝＋2n.10．[2018·北京西城区模拟]设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝9，a2为整数，且Sn≤S5.(1)求{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求证：Tn≤.解(1)由a1＝9，a2为整数可知，等差数列{an}的公差d为整数．又Sn≤S5，∴a5≥0，a6≤0，于是9＋4d≥0,9＋5d≤0，解得－≤d≤－. d为整数，∴d＝－2.故{an}的通项公式为an＝11－2n.(2)证明：由(1)，得＝＝，∴Tn＝＝.令bn＝，由函数f(x)＝的图象关于点(4.5,0)对称及其单调性，知0
