2014高考数学一轮总复习 2.5 指数与指数函数教案 理 新人教A版

2.5 指数与指数函数典例精析题型一 指数及其运算【例 1】计算：(1)214 2133231)()1.0()4(baab；(2)(0.027)31－(－)－2＋(2)21－(－1)0.【解析】(1)原式＝100442321·32a ·32a·32b·32b ＝.(2)原式＝(31)－(－1)－2()－2＋(21) －1＝－49＋－1＝－45.【点拨】进行指数的乘除运算时，一般先化成相同的底数.【变式训练 1】已知 a，b 是方程 9x2－82x＋9＝0 的两根，求3131baba－3131baba的值.【解析】a＋b＝，ab＝1.原式＝231a31b ＝2(ab)31＝2.题型二 指数函数性质的应用【例 2】已知函数 f(x)＝，其中 x∈R.(1)试判断函数 f(x)的奇偶性；(2)证明 f(x)是 R 上的增函数.【解析】(1)因为函数 f(x)的定义域为 x∈R，且 f(－x)＝1212xx＝＝－f(x)， 所以 f(x)为 R 上的奇函数.(2)证明：设 x1，x2∈R，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2)＝121211xx－121222xx=)2()2(2211112121xxxx＜0，所以 f(x)是 R 上的增函数.【点拨】在讨论指数函数的性质或利用其性质解题时，要特别注意底数是大于 1 还是小于 1，如果不能确定底数的范围应分类讨论.【变式训练 2】函数 y＝的图象大致为( )1【解析】A.题型三 指数 函数的综合应用【例 3】已知函数 f(x)＝2x－.(1)若 f(x)＝2，求 x 的值；(2)若 2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立，求实数 m 的取值范围.【解析】f(x)＝2x－＝ .0,0,0,212xxxx(1)因为 f(x)＝2，所以 2x－＝2.因为 x≥0，所以 2x＝1＋，解得 x＝log2(1＋).(2)因为 t∈[1,2]，所以 2tf(2t)＋mf(t)≥0 可化为 2t(22t－)＋m(2t－)≥0，即 m(22t－1)≥－(24t－1).因为 22t－1＞0，所以上式可化为 m≥－(22t＋1).又因为－(22t＋1)的最大值为－5，所以 m≥－5.故使得 2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立的实数 m 的取值范围是[－5，＋∞).【变式训练 3】已知函数 f(x)＝|2x－1|，a＜b＜c，且 f(a)＞f(c)＞f(b)，则下列结论中一定成立的是( )A.a＜0，b＜0，c＜0B.a＜0，b≥0，c＞0C.2－a＜2cD.2a＋2c＜2【解析】D.总结提高1.增强分类讨论的意识，对于根式的意义及其性质要分清 n 是奇数，还是偶数，指数函数的图象和性质 与底数 a 的取值范围有关，研究与指数函数有关的问题 时，要注意分 a＞1 与 0＜a＜1 两种情况讨论.2.深化概念的理解与应用，对于分数指数幂中幂指数为负数的情形，要注意底数 a 的取值限制.3.掌握指数函数的图象与性质，能利用数形结合的思想解决有关问题.2