6.4 数列求和典例精析题型一 错位相减法求和【例 1】求和：Sn＝＋＋＋…＋. 【解析】(1)a＝1 时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. (2)a≠1 时，因为 a≠0，Sn＝＋＋＋…＋，①Sn＝＋＋…＋＋.②由①－②得(1－)Sn＝＋＋…＋－＝－，所以 Sn＝.综上所述，Sn＝ ).1()1()1()1(),1(2)1(2aaaanaaannnn【点拨】(1)若数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，则求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法；(2)当等比数列公比为字母时，应对字母是否为 1 进行讨论；(3)当将 Sn 与 qSn 相减合并同类项时，注意错位及未合并项的正负号.【变式训练 1】数列{}的前 n 项和为( )A.4－ B.4＋ C.8－ D.6－【解析】取 n＝1，＝－4.故选 C.题型二 分组并项求和法【例 2】求和 Sn＝1＋(1＋)＋(1＋＋)＋…＋(1＋＋＋…＋).【解析】和式中第 k 项为 ak＝1＋＋＋…＋＝＝2(1－).所以 Sn＝2[(1－)＋(1－)＋…＋(1－)]＝])111([2 个n－(＋＋…＋)]＝2[n－]＝2[n－(1－)]＝2n－2＋.【变式训练 2】数列 1, 1＋2, 1＋2＋22，1＋2＋22＋23，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前 n项和为( )A.2n－1B.n·2n－nC.2n＋1－nD.2n＋1－n－2【解析】an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，Sn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)＝2n＋1－n－2.故选 D.题型三 裂项相消法求和【例 3】数列{an}满足 a1＝8，a4＝2，且 an＋2－2an＋1＋an＝0 (n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝(n∈N*)，Tn＝b1＋b2＋…＋bn(n∈N*)，若对任意非零自然数 n，Tn＞恒成立，求 m的最大整数值.【解析】(1)由 an＋2－2an＋1＋an＝0，得 an＋2－an＋1＝an＋1－an，从而可知数列{an}为等差数列，设其公差为 d，则 d＝＝－2，所以 an＝8＋(n－1)×(－2)＝10－2n.1(2)bn＝＝＝(－)，所以 Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1＋－－)＝－－＞ ，上式对一切 n∈N*恒成立.所以 m＜12－－对一切 n∈N*恒成立.对 n∈N*，(12－－)min＝12－－＝，所以 m＜，故 m 的最大整数值为 5.【点拨】(1)若数列{an}的通项能转化为 f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项相消法求和.(2)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项.【变式训练 3】已知数列{an}，{bn}的前 n 项和为 An，Bn，记 cn＝anBn＋bnAn－anbn(n∈N*)，则数列{cn}的前 10 项和为( )A.A10＋B10 B.C.A10B10...
