2014高中数学 第一章解三角形 正弦定理和余弦定理学习过程 新人教A版必修5

正弦定理和余弦定理学习过程知识点 1 : 正弦定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即si nsi nabABsi ncC（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使si nakA，si nbkB，si nckC；（2） si nsi nabABsi ncC等价于 si nsi nabAB， si nsi ncbCB， si naA si ncC从 而知正弦定理的基本作用为：① 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如② 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形知识点 2 : 余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC变形公式：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2bacCba从而知余弦定理及其推论的基本作用为：① 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；② 已知三角形的三条边就可以求出其它角。学习结论：（1）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即si nsi nabABsi ncC （2）余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC典型例题例题 1．在 ABC 中，已知，42.9acm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，1；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA例题 2、在  ABC 中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A解析：⑴解：∵2222cosbacacB=22(2 3)( 62)2 2 3 ( 62)cos045=212 ( 62)4 3( 3 1)= 8∴2 2.b求 A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵ 解法一：∵∴060 .A解法二：∵又∵62＞ 2.4 1.4 3.8,2 3 ＜ 2 1.8 3.6,∴ a ＜c ，即00 ＜ A ＜090 ,∴060 .A例题 3、在△ABC 中，，且最长边为2 ．（1）求角 C 的大小； （2）求最短边的长．2解析：（1）∵， ∴又， ∴，∴（2）由（1）知 C 为最大角，从而由已知得，0tantanAB， ∴AB ，故△ABC 的最短边为a 。∵52tanA，∴29295tan11cos2AA，∴29292costansinAAA，又，∴由正弦定理得最短边.例题 4、在△ABC 中，已知，求△ABC 的面积．解析：设 AB、BC、CA 的长分别为 c、a、b，.21cos,23sin,60,3tanBBBB得由∴故所求面积3