第 2 讲 函数与方程思想、数形结合思想一、函数与方程思想函数与方程思想,渗透到中学数学的各个领域,是历年高考考查的重点和热点.一般通过函数与导数、三角函数、数列及解析几何等知识运用的交汇处,思想方法和相关能力的结合处进行考查.思想方法诠释1.函数的思想:是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.2.方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.方程思想是动中求静,研究运动中的等量关系.3.函数思想与方程思想的联系:函数思想与方程思想密切相关,对于函数 y=f(x),当 y=0 时,转化为方程 f(x)=0,也可以把函数 y=f(x)看作二元方程 y-f(x)=0.函数与方程的问题可相互转化.求方程 f(x)=0 的解就是求函数 y=f(x)的零点.求方程f(x)=g(x)的解的问题,可以转化为求函数 y=f(x)-g(x)与 x 轴的交点问题.思想分类应用应用一 函数思想与方程思想的转换 【例 1】设函数 f(x)=1x,g(x)=ax2+bx(a,b∈R,a≠0),若 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是( ) A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2<0C.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2<0D.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2>0思维升华求两个函数 f(x),g(x)图象的交点问题通常转化为求函数 F(x)=f(x)-g(x)的零点问题.而函数 F(x)的零点问题也可以转化为两个函数图象的交点问题.【对点训练 1】已知函数 f(x)的定义域为 R,且有 2f(x)+f(x2-1)=1,则 f(-❑√2)= . 应用二 函数与方程思想在解三角形中的应用 【例 2】为了竖一块广告牌,要制造三角形支架,如图,要求∠ACB=60°,BC 的长度大于 1 m,且 AC 比 AB 长12 m,为了稳固广告牌,要求 AC 越短越好,则 AC 最短为( )A.(1+❑√32 )mB.2 mC.(1+❑√3)mD.(2+❑√3)m思维升华函数思想的实质是使用函数方法解决数学问题(不一定只是函数问题),构造函数解题是函数思想的一种主要体现.方程思想的本质是根据已知得出方程(组),通过解方程(组)解决问题.【对点训练 2】已知 a,b,c 分别为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,S 为△ABC 的面积,sin(B+C)=2Sa2-c2.(1)证明:A=2C;(2)若 b=2,且△ABC 为锐角三角形,求 S 的取值范围.应...
