[原创]数学解题中的化归思想 [苏教版]

数学解题中的化归思想对于如何解题，G·波利亚曾说过，解题的成功要靠正确的转化．化归思想是指在解决问题的过程中，将那些有待解决或难以解决的问题转化为已经解决或容易解决的问题来解决的一种数学思想方法．解决数学问题的过程是创造性的思维活动过程，其重要的特点是思维的变通性和流畅性．当我们接触的问题难以入手时，思维就不应停留在原问题上，而应将原问题转化为另一个比较熟悉、比较容易解决的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的．本文运用化归思想，例谈解题中的转化方法，希望能给备考中的广大一线师生些许启发．1．降格转化降格转化是指当人们对复杂的事物或抽象的事物一时认识不清时，则暂时退到简单的、但仍能保持事物特征的形态，以寻找事物的规律或关系的一种策略．例 1：解方程．思路分析：这是一个关于的一元三次方程，若用因式分解、配方求根等常规方法都不易求得方程的解．观察方程的系数和常数特点，可以看出的平方是 3，故不妨退一步考虑问题，把看作“常数”，把看作“变量”，从而得到解法．将原方程变为：，将此方程看作关于的一元二次方程，则 或抓住问题的本质，以退为进，退到我们能看清问题的地方，认透了再上去，“退一步海阔天空”在此题的解法中体现得淋漓尽致！例 2．已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数．思路分析：对于这样一个复杂的数列，我们注意到是常数，于是我们考虑这个数列的前三项：令，依题意可得因为数列为等比数列．或．2．升格转化升格转化是指把维数较低或抽象水平较低或整体性较弱的有关问题转化为维数较高或抽象水平较高或整体性较强的问题，通过对两者的性质及关系的考察，从而使原来的问题获得解决．例 3．求的值．思路分析：采用降幂公式或两角的和差公式展开，过程比较复杂．如果利用“对称性”，构造对偶式：设， 则有，又于是，则例 4．解方程思路分析：常规的解题思路是方程两边平方，但运算是漫长而繁琐的．切换思维视角，若将原方程变形为，发现此式结构酷似双曲线方程，于是在相似、类比的启迪下，我们可以构造双曲线方程求解．上式等价于用心 爱心 专心（其中），从而易知，双曲线方程为．令，得或为方程的解．3．缩格转化缩格转化是指在问题的条件系中寻找最小的独立完全系，从而使问题只涉及最小独立完全系的问题的策略．例如等差数列、等比数列的变量系中只含有三个独立变量；有心圆锥曲线也只有三个独立变量；对于几何题也常用寻找最小独立完全系...