数列的概念与简单表示法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列的第k项为1+D.数列0,2,4,6,…可记为{2n}【解析】选C.根据数列的定义与集合定义的不同可知A,B不正确,D项{2n}中首项为2,故不正确,C中an=,所以ak=1+.【加固训练】已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3()A.不是数列{an}中的项B.只是数列{an}中的第2项C.只是数列{an}中的第6项D.是数列{an}中的第2项或第6项【解析】选D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列{an}中的第2项或第6项.2.(2016·武汉模拟)数列0,,,,…的一个通项公式为()A.an=(n∈N*)B.an=(n∈N*)C.an=(n∈N*)D.an=(n∈N*)【解析】选C.将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),n∈N*;分母为奇数列,可表示为2n-1,n∈N*.3.(2016·洛阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于()A.4B.2C.1D.-2【解析】选A.由题可知Sn=2(an-1),所以S1=a1=2(a1-1),解得a1=2.又S2=a1+a2=2(a2-1),解得a2=a1+2=4.4.(2016·岳阳模拟)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6=()A.3×44B.3×44+1C.44D.44+1【解析】选A.由an+1=3Sn,得到an=3Sn-1(n≥2),两式相减得:an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,则an+1=4an(n≥2),又a1=1,a2=3S1=3a1=3,得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列,所以an=a2qn-2=3×4n-2(n≥2),则a6=3×44.【加固训练】数列{an}中,a1=1,对所有的n∈N*,都有a1a2a3…an=n2,则a3+a5=()A.B.C.D.【解析】选D.因为a1a2a3…an=n2,所以a1a2a3…an-1=(n-1)2(n≥2),所以an==(n≥2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.5.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则的值是()A.B.C.D.【解析】选C.由已知得a2=1+(-1)2=2.所以a3·a2=a2+(-1)3,所以a3=.所以a4=+(-1)4,所以a4=3.所以3a5=3+(-1)5,所以a5=.所以=×=.6.已知数列{an}中,an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,2]B.(-∞,3)C.(-∞,2)D.(-∞,3]【解析】选B.因为an=n2-kn(n∈N*),且{an}单调递增,所以an+1-an>0对∀n∈N*都成立,又an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,所以由2n+1-k>0,即k<2n+1恒成立可知k<(2n+1)min=3.【误区警示】“本题在求解过程中常犯an是关于n的二次函数,若{an}单调递增,则必有≤1,k≤2”的错误.出错的原因是忽视了数列作为函数的特殊性即自变量是正整数.【加固训练】已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是()A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列【解析】选A.因为an+1-an=-=>0,所以an+1>an,数列{an}为递增数列.7.(2016·大同模拟)设数列的前n项和为Sn,且a1=1,为常数列,则an=()A.B.C.D.【解题提示】将Sn转化为an与an-1,再求解.【解析】选B.由题意知,Sn+nan=2,当n≥2时,Sn-1+(n-1)an-1=2,两式相减得(n+1)an=(n-1)an-1,即=,从而···…·=··…·,有an=,当n=1时上式成立,所以an=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.数列{an}满足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),则数列{an}的通项公式an=.【解析】a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n换成n-1得,a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,两式相减整理得an=3n.答案:3n9.(2016·常德模拟)在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a2016等于.【解析】由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,….由此可得a2016=a336×6=a6=-4.答案:-4【一题多解】本题还可以采用如下解法:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1,两式相加可得an+3=-an,an+6=an.所以a2016=a336×6=a6=-4.答案:-4【加固训练】已知数列{an}中,a1=b(b为任意正数),an+1=-(n=1,2,3,…),能使an=b的n的数值是()A.14B.15C.16D.17【解析】选C.a1=b,a2=-,a3=-,a4=b,所以此数列的周期为3,故选C.10.已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为.【解析】因为an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2·(n-1)+2(n-2)+…+2×1+33=n·(n-1)+33,所以=n+-1≥2-1,当且仅当n=时,“=”成立.又因为n∈N*,因此当n=6时,=6+5.5-1=10.5.答案:10.5【加固训练】(2016...
