一．解答题（共 12 小题）1．（2024 秋•厦门期末）在平面直角坐标系中，一次函数 y=kx+4m（m＞0）的图象经过点B（p，2m），其中 m＞0．（1）若 m=1，且 k=1﹣ ，求点 B 的坐标；（2）已知点 A（m，0），若直线 y=kx+4m 与 x 轴交于点 C（n，0），n+2p=4m，试推断线段 AB 上是否存在一点 N，使得点 N 到坐标原点 O 与到点 C 的距离之和等于线段 OB 的长，并说明理由．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有【分析】（1）根据待定系数法解答即可；（2）用待定系数法确定函数的解析式，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：（1） 一次函数 y=kx+4m（m＞0）的图象经过点 B（p，2m），∴2m=kp+4m．∴kp=2m﹣． m=1，k=1﹣ ，∴p=2．∴B（2，2）．（2）线段 AB 上存在一点 N，使得点 N 到坐标原点 O 与到点 C 的距离之和等于线段 OB 的长．理由如下：由题意，将 B（p，2m），C（n，0）分别代入 y=kx+4m，得 kp+4m=2m 且 kn+4m=0．可得 n=2p． n+2p=4m，∴p=m．∴A（m，0），B（m，2m），C（2m，0）． xB=xA，∴AB⊥x 轴，且 OA=AC=m．∴对于线段 AB 上的点 N，有 NO=NC．∴点 N 到坐标原点 O 与到点 C 的距离之和为 NO+NC=2NO． ∠BAO=90°，在 Rt△BAO，Rt△NAO 中分别有OB2=AB2+OA2=5m2，NO2=NA2+OA2=NA2+m2．若 2NO=OB，则 4NO2=OB2．即 4（NA2+m2）=5m2．可得 NA=m．即 NA=AB．所以线段 AB 上存在一点 N，使得点 N 到坐标原点 O 与到点 C 的距离之和等于线段 OB 的长，且 NA=AB．【点评】此题
