平面向量的数量积与平面向量应用举例[知识能否忆起]一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量 a 和 b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．2．范围向量夹角 θ 的范围是 0°≤θ≤180°，a 与 b 同向时，夹角 θ＝0°；a 与 b 反向时，夹角 θ＝180°.3．向量垂直如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，则 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.二、平面向量数量积1．已知两个非零向量 a 与 b，则数量|a||b|·cos θ 叫做 a 与 b 的数量积，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．规定 0·a＝0.当 a⊥b 时，θ＝90°，这时 a·b＝0.2．a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．三、向量数量积的性质1．如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a.2．a⊥b⇔a·b＝0.3．a·a＝|a|2，|a|＝.4．cos θ＝.(θ 为 a 与 b 的夹角)5．|a·b|≤|a||b|.四、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a.2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．对 λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．五、数量积的坐标运算设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋ a 2b2.2．a⊥b⇔a1b1＋ a 2b2＝ 0 .3．|a|＝.4．cos θ＝＝.(θ 为 a 与 b 的夹角)[小题能否全取]1．已知向量 a，b 和实数 λ，下列选项中错误的是( )A．|a|＝ B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|解析：选 B |a·b|＝|a|·|b||cos θ|，只有 a 与 b 共线时，才有|a·b|＝|a||b|，可知 B 是错误的．2．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则 b 在 a 方向上的投影为( )A．2 B.C．－2 D．－解析：选 D |b|cos θ＝3cos 120°＝－.3．(2012·重庆高考)设 x∈R，向量 a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且 a⊥b，则|a＋b|＝( )A. B.C．2 D．10解析：选 B a⊥b，∴a·b＝0，即 x－2＝0，∴x＝2.∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，|a＋b|＝＝＝＝.4．已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30°，|a|＝2，|b|＝，则向量 a 和向量 b 的数量积a·b＝________.解析：a·b＝2××＝3.答案：35．已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量 a 与 b 的夹角 θ＝________.解析： a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3.∴cos θ＝＝＝.∴向量 a 与 b 的夹角为.答案： 1.对两向量夹角的理...
