平面向量的数量积与平面向量应用举例[知识能否忆起]一、两个向量的夹角1．定义已知两个非零向量 a 和 b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 的夹角．2．范围向量夹角 θ 的范围是 0°≤θ≤180°，a 与 b 同向时，夹角 θ＝0°；a 与 b 反向时，夹角 θ＝180°
3．向量垂直如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，则 a 与 b 垂直，记作 a⊥b
二、平面向量数量积1．已知两个非零向量 a 与 b，则数量|a||b|·cos θ 叫做 a 与 b 的数量积，记作a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．规定 0·a＝0
当 a⊥b 时，θ＝90°，这时 a·b＝0
2．a·b 的几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积．三、向量数量积的性质1．如果 e 是单位向量，则 a·e＝e·a
2．a⊥b⇔a·b＝0
3．a·a＝|a|2，|a|＝
4．cos θ＝
(θ 为 a 与 b 的夹角)5．|a·b|≤|a||b|
四、数量积的运算律1．交换律：a·b＝b·a
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c
3．对 λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．五、数量积的坐标运算设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则：1．a·b＝a1b1＋ a 2b2
2．a⊥b⇔a1b1＋ a 2b2＝ 0
3．|a|＝
4．cos θ＝＝
(θ 为 a 与 b 的夹角)[小题能否全取]1．已知向量 a，b 和实数 λ，下列选项中错误的是( )A．|a|＝ B．|a·b|＝|a|·|b|C．λ(a·b)＝λa·b D．|a·b|≤|a|·|b|解析：选 B |a·b|＝|a|·|b||cos θ|，只有 a 与 b 共线时，才有|a·b|＝|a||
