7.3.2 圆的一般方程1．方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示的图形方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D 2 ＋ E 2 － 4 F ＜ 0 [ 不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点D2＋E2－4F＞0表示以为圆心，以为半径的圆(1)圆 x2＋y2－2x＋4y－4＝0 的圆心坐标为__________，半径为__________．提示：(1，－2) 3(2)方程 x2＋y2＋3x－4y＋a＝0 表示圆，则实数 a 的取值范围是__________．提示：2．求圆的方程的方法(1)公式法：求圆心坐标和半径的方法．(2)待定系数法：列方程求 D ， E ， F 的方法．(1)平面内任一圆的一般方程都是关于 x，y 的二元二次方程，反之是否成立？提示：不一定．如方程 x2＋2xy＋y2＝0，即 x＋y＝0，代表一条直线，而不是一个圆．(2)已知点 M(x0，y0)和圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，如何判断点 M 与圆的位置关系？提示：点与圆的位置关系代数关系点 M 在圆外x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＞0点 M 在圆上x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＝0点 M 在圆内x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F＜0一、圆的判别及标准方程与一般方程的互化【例 1】判断方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0 能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．本题可直接利用 D2＋E2－4F＞0 是否成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．解法一：由方程 x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知 D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当 m＝2 时，它表示一个点；当 m≠2 时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为 r＝＝|m－2|.解法二：原 方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当 m＝2 时，它表示一个点；当 m≠2 时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为 r＝|m－2|.对于这个类型的题目，一般先看这个方程是否具备 圆的一般方程的特征，即① x2与 y2的系数相等，②不含 xy 的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看 D2＋E2－4F 是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的常数即可．1－1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；(4)2x2＋2y2－5x＝0.解：(1) 方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2与 y2的系数不相同，∴它不能表示圆．(2) 方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y...
