4.5.1 向量的数量积学习目标重点难点1．能记住向量数量积的定义；2．能说出向量数量积的运算律；3．能进行向量数量积的运算，会求两个向量的数量积及夹角.重点：向量数量积的定义及运算；难点：向量数量积的运算；疑点：向量数量积与实数乘法以及向量与实数相乘的区别.1．向量的数量积(1)定义：设 a，b 是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，取值范围是[0，π]，则定义 a · b ＝ | a || b |cos 〈 a ， b 〉 称为 a 与 b 的数量积．(2)两个向量的数量积是实数而不是向量．(3)数量积 a·b 也称为 a 与 b 的内积．(4)数量积 a·b 一定要在 a 与 b 之间用一点“·”表示，因此也称为“点积”或“点乘”，不能将 a·b 写成 a × b 或 ab.(5)向量 a，b 的夹角规定为 a，b 之间所夹的最小非负角，用〈 a ， b 〉 表示，其取值范围规定为[0 ， π] ，且有〈a，b〉＝〈b，a〉．(6)如果 a，b 共线，则有a·b＝(7)当 a，b 之中有一个为零时，它们的夹角〈a，b〉没有确定的值，但 a，b 仍有确定的值 0，即 a · b ＝ 0 .预习交流 1向量的数量积是一个实数，它的正负与什么有关？提示：由 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉知，当 a·b＞0 时，〈a，b〉∈；当 a·b＜0时，〈a，b〉∈；当 a·b＝0 时，〈a，b〉＝，因此 a·b 取值的正负由这两个向量的夹角所决定．预习交流 2由 a·b＝0 一定能推出 a 或 b 是零向量吗？提示：不一定，当 a·b＝0 时，可能有 a≠0，b≠0，而〈a，b〉＝，此时 a⊥b.预习交流 3在△ABC 中，与的夹角是什么？与的夹角等于 B 吗？提示：〈，〉＝A，但〈，〉≠B，而是〈，〉＝π－B，一定要注意向量的方向．2．向量数量积的运算律数量积满足如下的运算律：(1)交换律：a·b＝b · a ，对任意向量 a，b 成立；(2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ ( a · b ) ，对任意向量 a，b 和实数 λ 成立；(3)分配律(distributive law)：(a＋a′)·b＝a · b ＋ a ′· b ，对任意向量 a，a′，b成立．预习交流 4实数运算中满足消去律，即若 a，b，c 为实数，当 b≠0 时，由 ab＝bc 可得 a＝c；那么在数量积运算中，当 a，b，c 为向量，且 b≠0 时，由 a·b＝b·c 能否可得 a＝c?提示：对于向量的数量积，该推理不正确，即 a·b＝b·ca＝c.由图很容易看出，虽然 a·b＝b·c，但 a≠c.预习交流 5向量的数量积运算是...
