第 51 讲 圆对圆的问题的研究是高中解析几何的重点内容之一，在高考和数学竞赛中也很常见，学习中应熟练掌握圆的方程的几种常见的形式：1．圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其圆心为(a，b)，半径为 r(r＞0)．2．圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，① 当 D2＋E2－4F＞0 时，该方程表示圆，圆心(－，－)，半径 r＝；② 当 D2＋E2－4F＝0 时，该方程表示点(－，－)(点圆)；③ 当 D2＋E2－4F＜0 时，该方程不表示任何曲线(虚圆)．3．以(x1，y1)，(x2，y2)为直径端点的圆的方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0；4．圆的参数方程：圆心为(a，b)半径为 r 的圆的参数方程(θ 为参数)同时在学习的过程中还应该注意点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系及一些相关的结论，注意待定系数法的应用．与圆有关的问题还常常要考虑用平几方法来解．A 类例题 例 1．设实数 x，y 满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是( )A． B． C． D．(2000 年全国高考题)分析 由于(x，y)在圆上，则的值可以理解为通过圆上的点与原点连线的斜率，从而比较顺利地解决问题．解 如图，方程(x－2)2＋y2＝3 的图形为圆心在(2，0)，半径为 r＝的圆．设＝k，则 k 为 y＝kx 的斜率，显然 k 的最大值是在直线 y＝kx 与圆在 x 轴上方相切时得到，即直线 OM 的斜率为 k 的最大值．又|AM|＝，|OA|＝2，则∠MOA＝．于是可得的最大值是 k＝tan＝，故选 D．说明 这里运用数形结合的思想，把视为圆上一点(x，y)与原点连线的斜率是破题的“高明”之招．本题也可以直接解出：以 y＝kx 代入圆的方程(k2＋ 1)x2 － 4x ＋ 1＝0，这是关于 x 的二次方程，Δ＝4－(k2＋1)≥0，解得 k2≤3，则 k 的最大值为．例 2．自点 A(－3，3)发出的光线 L 射到 x 轴上，被 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆 x2＋y2－4x－4y＋7＝0 相切，求光线 L 所在直线的方程．(1989 年全国高考题)分析 考虑作出已知圆关于 x 轴的对称图形——圆 C'，则两条入射光线均与圆 C'相切，以此为突破口解决问题．解 已知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，它关于 x 轴的对称圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1， ①设光线 L 所在直线的方程是 y－3＝k(x＋3)(其中斜率 k待定）由题设知对称圆的圆心 C'(2，－2)到这条直线的距离等于 1，即 d＝＝1．整理得，12k2＋25k＋12＝0，解得 k＝－，或 k＝－．故所求的直线方程是 y－3＝－(x＋3)...
