【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第70讲函数问题选讲(最终)教案

第 70 讲 函数问题选讲本节主要内容有运用函数的有关知识解决函数自身的问题和与函数有关的方程、不等式、数列等问题。A 类例题 例 1 如果在区间[1，2]上，函数 f(x)=x2+px+q 与 g(x)=x+在同一点取相同的最小值，求 f(x)在该区间上的最大值．(1996 年全国高中数学联赛)解 由于 g(x)= x+=x+x+≥3=．当且仅当 x=，即 x=时等号成立．由于∈[1，2]，故 x=时 g(x)取得最小值．因为 f(x)=x2+px+q=，所以－=且 =，解得 p=－2，q=+．由于－1<2－．故在[1．2]上 f(x)的最大值为 f(2)=4－+．说明 本题在求 g(x)的最小值时，利用了均值不等式：（），当且仅当 a=b=c 时等号成立。例 2 若函数的值域为 R，则实数 的取值范围是 。（1994 年 “希望杯”全国数学邀请赛）解法一 根据函数值域定义，对于任意实数，关于 的方程，即恒有解，因此 （*） 恒成立。因为，所以（*）式成立的充要条件是，解得或。即实数 的取值范围是。解法二 根据对数函数和二次函数的性质，的最小值应不小于 0，即，解得或。即实数 的取值范围是。说明 解法一运用转化思想把对数函数转化为指数形式（关于 的二次方程）获得解答；解法二运用对数函数和二次函数的复合获得思路。例 3 求函数 f(x)=－的最大值。(1992 年全国高中数学联赛)1分析 两个根号内都是四次式，可以把被开开方数分别配方成平方和，从而可以把 f(x)看成是到某两点的距离之差。解 f(x)=－ =－=－于是 f(x)表示点 P(x，x2)与点 A(3，2)及 B(0，1)距离差|PA|－|PB|。 由于点 P(x，x2)在抛物线 y=x2上。即在抛物线上找到一点 P，使|PA|－|PB|取得最大值．由三角形的两边差小于第三边知，当且仅当点 P 为抛物线与 AB 的延长线的交点时，|PA|－|PB|取得最大值。由于直线 AB 的方程为，由方程组解得，其中点（）在 AB 的延长线上。|AB|=。即函数 f(x)=－的最大值为。说明 注意点 P 的存在性要加以证明。情景再现1．函数 y=－的值域是 。(上海市 1994 年高中数学竞赛)2．若不等式的解集是（4，b），则实数 a= ，b= 。3．若对任何，不等式恒成立，则一定有（ ）A． B． C． D．B 类例题 例 4 函数 f（x）定义在 R 上，对于任意实数 m、n，恒有，且当 x＞0 时，0＜f（x）＜1．（1）求证：f（0）＝1， 且当 x＜0 时，f（x）＞1;（2）求证：f（x）在 R 上单调递减；2（3）集合 A＝{（x，y）| f（x2）f（y2）＞ f（1）}，B...