第 16 讲 平几问题选讲平面几何在高中竞赛和国际竞赛中占有重要的地位，本讲将对平几中的一些典型问题的选讲，强化解平几问题的典型思想方法.A 类例题 例 1 如图，已知正方形 ABCD，点 E、F 分别在 BC 、 CD 上 ， 且BE+DF=EF，试求∠EAF 的度数.（1989 年全国冬令营）分析 注意到 BE+DF=EF，很容易想到“截长补短”的方法．解 延长 CB 到 F'，使得 BF'= DF，连结AF'显然AF'B≌AFD． ∴∠BAF'=∠DAF，AF'=AF．又 EF'=BE+BF'=BE+DF，AE 为公共边，∴AF'E≌AFE．∴∠EAF'=∠EAF．又 ∠FAF'=∠BAD=90º，∴∠EAF=45º．说明 本题AF'B 可以看作是AFD 顺时针旋转 90º 得到的；本题也可以延长 CD 或旋转ABE.例 2 如图，A、B、C、D 为直线上四点，且 AB=CD，点P 为一动点，若∠APB=∠CPD，试求点 P的 轨 迹 ．（1989 年全国初中数学联赛）分析 由于已知的两个条件 AB=CD和∠APB=∠CPD，分散在两个三角形中，需要把它们集中，于是可以进行平移或添加辅助圆建立这两个已知条件间的联系.链接 本题若在 EF 上截取 EH=BE，是很难进行下去的，但我们可以用代数的方法来研究，解法如下：过点 A 作 AHEF 于 H，由勾股定理得 AB2+BE2=AH2+EH2，AD2+DF2=AH2+FH2，两式相减可得BE2-DF2=EH2-FH2，于是(BE-DF)(BE+DF)=(EH-FH)(EH+FH)，而 BE+DF=EH+FH① 所以 BE-DF=EH-FH②，由①②可得 BE=EH， DF=FH．从而可得 AE 平分∠BAH，AF 平分∠DAH，所以∴∠EAF=45º．HFD CBAE1FDCABEF'FDCABEDABCP证法一 分别过点 A、B 作 PC、PD 的平行线得交点 Q.连结 PQ.在△QAB 和△PCD 中,显然∠QAB ＝ ∠ PCD,∠QBA ＝∠PDC. 由 AB=CD,可知△QAB≌△PCD.有 QA＝PC，QB＝PD，∠AQB＝∠CPD.于 是 ,PQ∥AB ， ∠ APB ＝∠AQB.则 A、B、P、Q 四点共圆，且四边形 ABPQ 为等腰梯形.故 AP＝BQ.所以 PA＝PD.即点 P 的轨迹是线段 AD 的垂直平分线.证法二 作△PBC 的外接圆交PA 、 PD 分 别 为E、F，连结 BE、CF， ∠APB=∠CPD，∴BE=CF ， ∠ ABE=∠EPC=∠BPF =∠DCF. 又 AB=CD，∴△ABE≌△DCF.∴∠PAB＝∠PDC.∴PA＝PD.即点 P 的轨迹是线段 AD 的垂直平分线.说明 同样地，也可以作△PAD 的外接圆，目的是建立条件 AB=CD 和∠APB=∠CPD 之间的联系.证法三 由三角形的面积公式易得 PA·PB=PC·PD，PA·PC=PB·PD，两式相乘，化简得 PA＝PD....
