2024 年大学生数学(非数学类)竞赛培训模拟试卷 A 答案 一、解答下列各题1. 设 且,试求.解 由==,令 A=则 A 的特征值为,;对应的特征向量为,令 P= 则有:===== 于是 2..解 原式=+=+0=3. 证明: ,;解 因为 当时,,即故 上式对从 1 到求和,得 因为 所以 于是 和 即证 另解 因为 于是 一方面 有: ① 另一方面 有: ②综合①②有: 4.已知 , 计算 解 ======其实:===再利用洛比达法则计算也可.5. 已知是椭球面的外侧,计算.解 由高斯公式 原式= 由于=+2+ =+0+ 其中 =+ =利用对称性 原式=二、已知函数在上连续,在内可导,且,证明对于任何正整数,至少存在一点,使得.证 对任何正整数,令,则函数在上连续,在内可导,且 ,; 由 中 值 定 理 , 至 少 存 在 一 点,; 显然不等于零,即只有 亦即 三、设有椭圆抛物面和平面.(1)试给出和相交的充要条件.(2)当与相交时,求它们所围成空间形体的体积和被截下部分的面积.解 (1)与相交,当且仅当方程有无穷多个解.将第一个方程代入第二个方程,整理得,该方程有无穷多组解,当且仅当,或,此即为与相交的充要条件.(2)由(1)知在平面上的投影区域为,其中.所求的体积为.作坐标变换,于是.被截下部分的面积为.四、证明:解 由于 =而 有 于是 = = = 五、证明:(1);( 2 ).证(1)由 = 令得 .(2) 于是 .即证 六、讨论三个平面,,,的位置关系,画出图形,并说明理由. 解 设,,为三个平面的法向量;,,; 记, 则且; (1)假如,则三个平面重合; (2)假如,则三个平面平行,且又分两种情况: ① 当两两线性无关时,三个平面平行且互异; ② 当有两个线性相关时,三个平面平行但其中二平面重合; (3)假如,则三个平面组成的方程组的导出组的解空间是一维空间,从而三个平面交于一条直线,且又分两种情况: ① 当两两线性无关时,三个平面互异且交于一条直线;② 当有两个线性相关时,有二个平面重合且与第三平面交于一条直线;(4)假如,则共面且有两个向量不共线,又分两种情况:① 当两两线性无关(不共线)时,三平面两两相交于不同直线;② 当中有两个线性相关时,则两平面平行(不重合)且与第三平面分别交于一条直线; (5)假如,则三个平面组成的方程组有唯一解,从而三平面互异且交于一点。七、设函数在上连续, ,是的表面,是在平面的投影区...