2024 年大学生数学(非数学类)竞赛培训模拟试卷 A 答案 一、解答下列各题1. 设 且，试求．解 由==，令 A=则 A 的特征值为，；对应的特征向量为，令 P= 则有：===== 于是 2．.解 原式=+=+0=3. 证明： ，；解 因为 当时，，即故 上式对从 1 到求和，得 因为 所以 于是 和 即证 另解 因为 于是 一方面 有： ① 另一方面 有： ②综合①②有： 4．已知 ， 计算 解 ======其实:===再利用洛比达法则计算也可.5. 已知是椭球面的外侧，计算．解 由高斯公式 原式= 由于=+2+ =+0+ 其中 =+ =利用对称性 原式=二、已知函数在上连续，在内可导，且，证明对于任何正整数，至少存在一点，使得．证 对任何正整数，令，则函数在上连续，在内可导，且 ，； 由 中 值 定 理 ， 至 少 存 在 一 点，； 显然不等于零，即只有 亦即 三、设有椭圆抛物面和平面．（1）试给出和相交的充要条件．（2）当与相交时，求它们所围成空间形体的体积和被截下部分的面积．解 （1）与相交，当且仅当方程有无穷多个解．将第一个方程代入第二个方程，整理得，该方程有无穷多组解，当且仅当，或，此即为与相交的充要条件．（2）由（1）知在平面上的投影区域为，其中．所求的体积为．作坐标变换，于是．被截下部分的面积为．四、证明：解 由于 =而 有 于是 = = = 五、证明：（1）；（ 2 ）．证（1）由 = 令得 ．（2） 于是 ．即证 六、讨论三个平面，，，的位置关系，画出图形，并说明理由. 解 设，，为三个平面的法向量；，，； 记， 则且； （1）假如，则三个平面重合； （2）假如，则三个平面平行，且又分两种情况： ① 当两两线性无关时，三个平面平行且互异； ② 当有两个线性相关时，三个平面平行但其中二平面重合； （3）假如，则三个平面组成的方程组的导出组的解空间是一维空间，从而三个平面交于一条直线，且又分两种情况： ① 当两两线性无关时，三个平面互异且交于一条直线；② 当有两个线性相关时，有二个平面重合且与第三平面交于一条直线；（4）假如，则共面且有两个向量不共线，又分两种情况：① 当两两线性无关（不共线）时，三平面两两相交于不同直线；② 当中有两个线性相关时，则两平面平行（不重合）且与第三平面分别交于一条直线； （5）假如，则三个平面组成的方程组有唯一解，从而三平面互异且交于一点。七、设函数在上连续， ，是的表面，是在平面的投影区...
