高等数学竞赛专题-关于反例在数学分析教学中的作用

关于反例在数学分析教学中的作用在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的进展，开辟了数学领域的新天地。当一个数学问题被提出来后，它面临着两种抉择：一是根据已知的公理、定义、定理等经过一系列的正确推理，推证命题成立；一是从一些迹象推断该命题不成立，然后寻求一个满足命题的条件，但使结论不成立的例证，从而否定这个命题。后者即为通常所说的反例。可以说，数学是在归纳、发现、推广中进展的。反例在数学的进展中功不可没。反例不但在数学的进展和证明中有同等重要的作用，而且，作为后人，在学习、领悟和深化钻研数学的时候，也离不开反例。因为条件的强弱，使用范围的宽窄，都需要用反例作对比，才能加深理解，假如命题有错误 ，证明有漏洞，也只有靠反例去证实，并从反例中得到修补的启示。举反例是一种重要的反证手段。重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。学会构造反例是一种重要的数学技能，应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。反例的重要性要想充分的发挥出来，关键还在于具体的作出所需的反例。至于反例的作法，也如证明一样，因题而异，方式多变。问题：反例在数学分析教学中有哪些作用？答：其作用主要体现在以下几方面：（一）反例是强化概念的有力工具，也可以深化学生对知识的理解。在数学教学中，老师不仅要运用正确的例子深刻阐明知识点，而且要运用恰当的反例从另一个侧面抓住概念或规则的本质，弥补正面教学的不足，从而加深学生对知识的理解，给他们留下深刻的印象。例如：数学分析中函数的单调性，数列极限的运算法则，复数等概念和运算法则等等。对于初学者来说，对它们的理解常常模糊不清，在讲授这些知识的时候，假如从正面论述，同学们对它们的理解并不深刻。假如配合一些反例说明，效果就不一样了。例 1：若，, 则,反之是否成立？分析：反之不成立。直接说明不好入手，而举出反例来说明，就能使问题解决。例如：, , 显然 存在，但an和均不存在。例 2：试推断“在第一象限内是增函数”是否正确？分析：初学时我们都会认为“在第一象限内是增函数”但认真思考我们就会发现这一命题是错误的。例如当，显然，但 ，显然不符合增函数的定义。（二） 反例是帮助掌握...