一类条件不等式的统一证明笔者通过很长一段时间的观察和研究，发现有一类条件不等式可以利用凸函数定理给予其简单的统一证明，并还可以对原有命题进行有益的推广。而很多杂志在证明中都是运用重要不等式及柯西不等式结合证明，在操作中比较复杂，不容易掌握理解。为了说明这一方法操作的统一性，本文从几个方面着重谈该凸函数定理在这一类条件不等式中的统一证明并对其给出相应的推广。凸函数定理：若在区间 I 内上凸，则对任意，以及任意的，必有若在区间 I 内下凸，则不等号反向，其中等号均当且仅当时成立.推论: 若在区间 I 内上凸，则对任意总有若在区间 I 内下凸，则不等号反向，其中等号均当且仅当时成立.用凸函数定理考察不等式问题时必须选择恰当的函数，使其在某个区间内上凸或下凸，这样问题便可简单化。1．条件为型例 1．设则不等式)证明：要证函数不等式成立，必须先构造一个函数而且还要能够判断这个函数在（0，1）内是上凸还是下凸函数.构造函数由故在（0，1）上是下凸函数.由上推论知: 即例２且求证分析：将条件转化为型，可令即则证这便是例 1 的特例。３．不等式为和式型例３若 a,b,c 为三角形边长且２Ｓ＝a+b+c 则（第２８届ＩＭＯ预选题）显然此命题变形有 构造函数即可证明．例４试求函数是常数）在条件，下的最小值． [2]解：=构造函数显然其在（0，+）上是下凸函数，由定理：其中可令，， 且，则有++将代入有打开即当且仅当时等号成立。此题有三个推广推广 1：若，为大于 0 的常数）则 当且仅当 时等号成立。推广 2：若，为大于 0 的常数）或则 当且仅当时取等构造函数有，而，或 在（0，+）上是下凸函数由，令， 代入有即推广 3：若，为大于 0 的常数）则 当且仅当时取等例 5 若，则有当且仅当=时等号成立。证明：不等式两边取对数，显然既证即构造函数由所以有在（0，1）上是下凸函数。即++有当且仅当=时等号成立。参考文献： [1]文开庭。一组征解问题的统一推广及应用。数学通报，1997（1） [2]钱亦青。某些条件极值问题的向量解法。数学通讯，2002（15） [3]杨先义。一个不等式的推广。数学通讯，2002（19） [4]孙世华。数学推广的基本模式。数学通讯，2005（1）
