课时达标第28讲等差数列及其前n项和[解密考纲]主要考查等差数列的通项公式、等差中项及其性质以及前n项和公式的应用，三种题型均有涉及．一、选择题1．已知等差数列{an}的前13项和为39，则a6＋a7＋a8＝(B)A．6B．9C．12D．18解析由等差数列的性质，得S13＝13a7＝39，∴a7＝3.由等差中项，得a6＋a7＋a8＝3a7＝9.故选B．2．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＝8，S3＝6，则a9＝(C)A．8B．12C．16D．24解析由已知得a1＋4d＝8,3a1＋d＝6，解得a1＝0，d＝2.故a9＝a1＋8d＝16.故选C．3．(2018·山东济南一中期中)等差数列{an}中，若S10＝10，则a5＋a6＝(C)A．0B．1C．2D．3解析等差数列{an}中，S10＝＝10，∴a1＋a10＝2，由等差数列的性质可知a5＋a6＝a1＋a10＝2.故选C．4．设Sn是公差不为零的等差数列{an}的前n项和，且a1>0，若S5＝S9，则当Sn最大时，n＝(B)A．6B．7C．10D．9解析由题意可得S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝0，∴2(a7＋a8)＝0，即a7＋a8＝0.又∵a1>0，∴该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数．∴当Sn最大时，n＝7.5．在等差数列{an}中，a9＝a12＋3，则数列{an}的前11项和S11＝(C)A．24B．48C．66D．132解析设公差为d，a9＝a12＋3，即a1＋8d＝(a1＋11d)＋3，整理，得a1＋5d＝6，即a6＝6.∴S11＝＝＝66.故选C．6．设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(C)A．若d<0，则数列{Sn}有最大项B．若数列{Sn}有最大项，则d<0C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意的n∈N*，均有Sn>0D．若对任意的n∈N*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列解析C项显然是错的，举出反例：－1，0,1,2,3…，，满足数列{Sn}是递增数列，但是对任意的n∈N*，Sn>0不成立．二、填空题7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，则正整数k＝__13__.解析由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－，又Sk＋1＝＝＝－，解得k＝13.8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1
0，知数列{an}是递增数列，所以p1为真命题；因为nan＝n(2n－8)，对称轴为n＝2，则数列{nan}先减后增，所以p2为假命题；因为＝2－，故数列是递增数列，所以p3为真命题；因为a＝(2n－8)2，对称轴为n＝4，则数列{a}先减后增，所以p4为假命题．三、解答题10．在等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{an}的前k项和Sk＝－35，求k的值．解析(1)设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d.由a1＝1，a3＝－3，可得1＋2d＝－3，解得d＝－2，从而an＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.(2)由(1)可知an＝3－2n.所以Sn＝＝2n－n2.由Sk＝－35，可得2k－k2＝－35，即k2－2k－35＝0，解得k＝7或k＝－5.又k∈N*，故k＝7.11．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.(1)求a及k的值；(2)设数列{bn}的通项bn＝，证明数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.解析(1)设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，公差d＝4－2＝2，所以Sk＝ka1＋·d＝2k＋×2＝k2＋k.由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，解得k＝10或k＝－11(舍去)，故a＝2，k＝10.(2)由(1)得Sn＝＝n(n＋1)，则bn＝＝n＋1，故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn＝＝.12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1<0，S2017＝0.(1)求Sn的最小值及此时n的值；(2)求n的取值集合，使其满足an≥Sn.解析(1)设公差为d，则由S2017＝0⇒2017a1＋d＝0⇒a1＋1008d＝0，d＝－a1，∴Sn＝na1＋d＝na1－·＝(2017n－n2)．∵a1<0，n∈N*，∴当n＝1008或1009时，Sn取最小值a1.(2)an＝a1，Sn≤an⇔(2017n－n2)≤a1.∵a1<0，∴n2－2019n＋2018≤0，即(n－1)(n－2018)≤0，解得1≤n≤2018.故所求n的取值集合为{n|1≤n≤2018，n∈N*}．
