课时达标第30讲数列求和[解密考纲]考查数列的通项公式、数列求和的方法,主要考查公式法、利用Sn与an的关系求通项公式、裂项相消法和错位相减法求前n项和,三种题型均有考查,位于各类题型的中间靠后位置.一、选择题1.数列{an}的前n项和为Sn,若an=,则S6=(D)A.B.C.D.解析因为an==-,所以S6=1…-+-++-=1-=.2.已知Sn…=++++,若Sm=10,则m=(C)A.11B.99C.120D.121解析因为==-,所以Sm…=-+-++-=-1.由已知得-1=10,所以m=120.故选C.3.在数列{an}中,已知a1=1,an+1-an=sin,记Sn为数列{an}的前n项和,则S2018=(D)A.1006B.1007C.1008D.1010解析由题意,得an+1=an+sin,所以a2=a1+sinπ=1,a3=a2+sin=0,a4=a3+sin2π=0,a5=a4+sin=1…,,因此数列{an}是一个以4为周期的周期数列,而2018=4×504+2,所以S2018=504×(a1+a2+a3+a4)+a1+a2=1010.故选D.4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为(A)A.B.C.D.解析设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.∵a5=5,S5=15,∴∴∴an=a1+(n-1)d=n.∴==-,∴数列的前100项和为1…-+-++-=1-=.5.数列{an}的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2018=(B)A.2017B.-1010C.504D.0解析因为an=ncos,所以当n为奇数时,an=0;当n为偶数时,an=其中m∈N*.所以S2018=a1+a2+a3+a4+a5…++a2016+a2017+a2018=a2+a4+a6+a8…++a2016+a2018=-2+4-6+8-10+12-14…++2016-2018=(-2+4)+(-6+8)+(-10+12)…++(-2010+2012)+(-2014+2016)-2018=2×504-2018=-1010.故选B.6.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),Sn是数列{an}的前n项和,则S2018=(B)A.22018-1B.3×21009-3C.3×21009-1D.3×22018-2解析依题意得an·an+1=2n,an+1·an+2=2n+1,于是有=2,即=2,数列a1,a3,a5…,,a2n-1…,是以a1=1为首项、2为公比的等比数列;数列a2,a4,a6,…,a2n…,是以a2=2为首项、2为公比的等比数列,于是有S2018=(a1+a3+a5…++a2017)+(a2+a4+a6…++a2018)=+=3×21009-3.故选B.二、填空题7.在数列{an}中,an…=+++,又bn=,则数列{bn}的前n项和为____.解析∵an==,∴bn==8.∴b1+b2…++bn=8=.8.设数列{an}的通项公式为an=2n-10(n∈N*),则|a1|+|a2|…++|a15|=__130__.解析由an=2n-10(n∈N*)知{an}是以-8为首项,2为公差的等差数列,又由an=2n-10≥0得n≥5,所以当n<5时,an<0,当n≥5时,an≥0,所以|a1|+|a2|…++|a15|=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6…++a15)=20+110=130.9.若数列{an}…是正项数列,且+++=n2+3n(n∈N*)…,则+++=__2n2+6n__.解析令n=1,得=4,∴a1=16.当n≥2…时,+++=(n-1)2+3(n-1).与已知式相减,得=(n2+3n)-(n-1)2-3(n-1)=2n+2.∴an=4(n+1)2,当n=1时,a1适合an.∴an=4(n+1)2,∴=4n+4,∴…+++==2n2+6n.三、解答题10.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=2S2+4,a5=36.(1)求an,Sn;(2)设bn=Sn-1(n∈N*),Tn…=++++,求Tn.解析(1)因为S3=2S2+4,所以a1=d-4,又因为a5=36,所以a1+4d=36,解得d=8,a1=4,所以an=4+8(n-1)=8n-4,Sn==4n2.(2)bn=4n2-1=(2n-1)(2n+1),所以==.Tn…=++++===.11.在数列{an}中,a1=3,an=2an-1+(n-2)(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3的值;(2)证明:数列{an+n}是等比数列,并求{an}的通项公式;(3)求数列{an}的前n项和Sn.解析(1)令n=2,得a2=2a1=6.令n=3,得a3=2a2+1=13.(2)证明:因为==2,所以数列{an+n}是首项为4,公比为2的等比数列,所以an+n=4·2n-1=2n+1,所以an=2n+1-n.(3)因为数列{an}的通项公式an=2n+1-n,所以Sn=(22+23…++2n+1)-(1+2…++n)=-=2n+2-.12.(2017·山东卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列{an}的通项公式;(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn.已知S2n+1=bnbn+1,求数列的前n项和Tn.解析(1)设{an}的公比为q,由题意知a1(1+q)=6,aq=a1q2.又an>0,解得a1=2,q=2,所以an=2n.(2)由题意知S2n+1==(2n+1)bn+1,又S2n+1=bnbn+1,bn+1≠0,所以bn=2n+1.令cn=,则cn=,因此Tn=c1+c2…++cn…=+++++,又Tn…=+++++,两式相减得Tn=+-,所以Tn=5-.