课时分层作业四十三空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题(每小题5分,共35分)1.给出三个命题:①若两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行;②若两条直线与一个平面垂直,则这两条直线互相平行;③若两条直线与一个平面平行,则这两条直线互相平行.其中正确的命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.若两条直线与同一个平面所成的角相等,则这两条直线与平面的法向量夹角相等,这些直线构成以法向量为轴的某个对顶圆锥.故①错误;两条直线与平面垂直,则这两条直线与平面的法向量平行,则根据公理4,两直线平行,故②正确;两条直线与一个平面平行,这两条直线可能异面、平行或相交.故③错误.2.下列命题中成立的个数是()①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线l在平面α外,则l∥α;③若直线l∥b,直线b⊂α,则l∥α;④若直线l∥b,直线b⊂α,那么直线l就平行于平面α内的无数条直线.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.直线l平行于平面α内的无数条直线,包括l⊂α和l∥α,故①不成立;直线l在平面α外,包括l与α相交和l∥α,故②不成立;直线l∥b,直线b⊂α,包括l⊂α和l∥α,故③不成立;直线l∥b,直线b⊂α,那么l平行于α内与直线b平行的所有直线,所以直线l就平行于平面α内的无数条直线,故只有④成立.3.有如下三个命题:①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线;②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线;③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.①分别在两个平面中的两条直线不一定是异面直线,故①错误.②此命题是直线与平面垂直的性质定理,故②正确.③可过斜线与平面α的交点作一条垂直于平面α的直线,则斜线与垂线所确定的平面即与平面α垂直,这样的平面有且只有一个.故③正确.所以②③正确.4.在空间中,下列命题中不正确的是()A.若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点B.任意两条直线能确定一个平面C.若点A既在平面α内,又在平面β内,则α与β相交于直线b,且点A在直线b上D.若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线【解析】选B.在A中,若两个平面有一个公共点,则由公理3知它们有无数个公共点,故A正确;在B中,由公理2知,两条平行线或两条相交线能确定一个平面,两条异面直线不能确定一个平面,所以任意两条直线不能确定一个平面,故B错误;在C中,若点A既在平面α内,又在平面β内,则由公理3知α与β相交于直线b,且点A在直线b上,故C正确;在D中,假设任意三点共线,则根据“经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面”,所以四个点共面,与原题意不符,所以四个点不共面,则其中任意三点不共线,故D正确.5.已知直线l与平面α相交但不垂直,m为空间内一条直线,则下列结论一定不成立的是()A.m⊥l,m⊂αB.m⊥l,m∥αC.m∥l,m∩α≠∅D.m⊥l,m⊥α【解析】选D.设过l和l在平面α内的射影的平面为β,则当m⊥β时,有m⊥l,m∥α或m⊂α,故m与α不可能垂直,故D错误.【变式备选】若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是()A.α内的所有直线都与直线a异面B.α内不存在与a平行的直线C.α内的直线都与a相交D.直线a与平面α有公共点【解析】选D.直线a不平行于平面α,则a与平面α相交或a⊂α,所以D正确.6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,|AB|=2,|BC|=|CC1|=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接BD,DC1,则所求角为∠BC1D或其补角,因为|BC1|=,|BD|==,|C1D|=|AB1|=,因此,cos∠BC1D==.【误区警示】本题易对两异面直线AB1与BC1所成角找不准导致计算错误.【变式备选】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|AC|=3,|BC|=4,|AB|=5,|AA1|=4,则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为()A.B.C.D.-【解析】选C.因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,CC1两两垂直.如图,建立坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B1(0,4,4),所以=(-3,0,4),=(0,4,4),设异面直线AC1与B1C所成角为θ,则cosθ===,所以异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.7.如果直线AB与平面α相交于B,且与α内的三条直线BC,BD,BE所成的角相同,则直线AB与平面内和该直线异面的直线所成的角为()A.B.C.D.【解析】选B.由于线面...
