高考数学总复习第七章 推理与证明第3课时 数学归纳法VIP免费

考情分析考点新知理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N)，则n＝1时，f(n)＝________.答案：1＋＋解析：当n＝1时，f(1)＝1＋＋.2.(选修22P88练习题3改编)用数学归纳法证明不等式“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取为________．答案：5解析：当n≤4时，2n≤n2＋1；当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，所以n0应取为5.3.设f(n)＝1＋＋＋＋…＋(n∈N*)，则f(k＋1)－f(k)＝________.答案：＋＋解析：f(k＋1)－f(k)＝1＋＋＋＋…＋－＝＋＋.4.用数学归纳法证明“当n为正偶数时xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成____．答案：2当n＝2k(k∈N*)时结论成立，x2k－y2k能被x＋y整除解析：因为n为正偶数，故取第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故假设当n＝2k(k∈N*)时结论成立，x2k－y2k能被x＋y整除．5.已知a1＝，an＋1＝，则a2，a3，a4，a5的值分别为________________，由此猜想an＝________．答案：、、、解析：a2＝＝＝＝，同理a3＝＝＝，a4＝＝，a5＝＝，猜想an＝.1.由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法．2.对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第1个值n0时，命题成立；然后假设当n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立；证明当n＝k＋1时，命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法．3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤为：(1)归纳奠基：证明凡取第一个自然数n0时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题成立；(3)由(1)(2)得出结论．[备课札记]题型1证明等式例1用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N)．证明：①当n＝1时，等式左边＝1－＝＝右边，等式成立．②假设当n＝k(k∈N)时，等式成立，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，那么，当n＝k＋1时，有1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋，上式表明当n＝k＋1时，等式也成立．由①②知，等式对任何n∈N均成立．当n≥1，n∈N*时，(1)求证：C＋2Cx＋3Cx2＋…＋(n－1)Cxn－2＋nCxn－1＝n(1＋x)n－1；(2)求和：12C＋22C＋32C＋…＋(n－1)2C＋n2C.(1)证明：设f(x)＝(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn－1＋Cxn，①①式两边求导得n(1＋x)n－1＝C＋2Cx＋3Cx2＋…＋(n－1)Cxn－2＋nCxn－1.②①式等于②式，故等式成立．(2)解：②两边同乘x得nx(1＋x)n－1＝Cx＋2Cx2＋3Cx3＋…＋(n－1)Cxn－1＋nCxn.③③式两边求导得n(1＋x)n－1＋n(n－1)x(1＋x)n－2＝C＋22Cx＋32Cx2＋…＋(n－1)2Cxn－2＋n2Cxn－1.④在④中令x＝1，则12C＋22C＋32C＋…＋(n－1)2C＋n2C＝n·2n－1＋n(n－1)2n－2＝2n－2(2n＋n2－n)＝2n－2·n(n＋1)．题型2证明不等式例2(选修2-2P91习题6改编)设n∈N*，f(n)＝1＋＋＋…＋，试比较f(n)与的大小．解：当n＝1，2时f(n)<；当n≥3时f(n)>.下面用数学归纳法证明：①当n＝3时，显然成立；②假设当n＝k(k≥3，k∈N)时，即f(k)>，那么，当n＝k＋1时，f(k＋1)>＋＝>＝，即n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对任何n≥3，n∈N不等式成立．用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除(n∈N*)．证明：①当n＝1时，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除．②假设n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1，由假设可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除，∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1能被a2＋a＋1整除，即n＝k＋1时命题也成立，∴对任意n∈N*原命题成立．题型3证明整除例3用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈N*)能被36整除．证明：①当n＝1时，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设n＝k时，f(k)能被36整除，则当n＝k＋...