第四讲 直线与圆锥曲线的位置关系[知识梳理]［知识盘点］一．直线与圆锥曲线的位置关系1 ． 代 数 法 ： 判 断 直 线与 圆 锥 曲 线的 位 置 关 系 时 ， 通 常 将 直 线的 方 程不同时为代入圆锥曲线的方程，消去(也可以消去) 得 到 一 个 关 于 变 量( 或) 的 一 元 方 程 ， 即消 去后 得，(1)当时，则有，直线 与曲线 ；，直线 与曲线 ；，直线 与曲线
(2)当时，即得到一个一次方程，则 与相交，且只有一个交点，此时，若为双曲线，则直线 与双曲线的渐近线的位置关系是 ；若是抛物线，则直线 与抛物线的对称轴的位置关系是
2．几何法：直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类：(1)直线与圆锥曲线没有公共点直线与圆锥曲线 ；(2) 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点对椭圆而言，直线与椭圆 ；对双曲线而言，表示直线与其相切或与双曲线的渐近线 ，对于抛物线而言，表示直线与其 或与其对称轴平行；(3) 直线与圆锥曲线有个相异的公共点直线与圆锥曲线 ，此时直线被圆锥曲线所截得的线段称为圆锥曲线的弦
二．中点弦问题已知弦的中点，研究的斜率与方程
3． 是椭圆的一条弦，中点 M 坐标为，则直线的斜率为
运用点差法求的斜率：设都在椭圆上，则，两式相减，得，，从而 ，故
运用类比思想，可以推出已知是双曲线的弦，中点 M，则 ；已知抛物线的弦的中点 M，则
三．弦长问题
4．(1)斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点，，则所得的弦长 或 ， 其 中 求与时 ， 常 使 用 韦 达 定 理 ， 即 做 如 下 变 形 ：，
(2)当直线的斜率不存在时，可求出交点的坐标，直接运算；(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题，可利用圆锥曲线的定义，将其转化为 ，往往比利用弦长公式简单
［特别提醒］直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点，这类问题常涉及到圆
