第四讲 直线与圆锥曲线的位置关系[知识梳理][知识盘点]一.直线与圆锥曲线的位置关系1 . 代 数 法 : 判 断 直 线与 圆 锥 曲 线的 位 置 关 系 时 , 通 常 将 直 线的 方 程不同时为代入圆锥曲线的方程,消去(也可以消去) 得 到 一 个 关 于 变 量( 或) 的 一 元 方 程 , 即消 去后 得,(1)当时,则有,直线 与曲线 ;,直线 与曲线 ;,直线 与曲线 。(2)当时,即得到一个一次方程,则 与相交,且只有一个交点,此时,若为双曲线,则直线 与双曲线的渐近线的位置关系是 ;若是抛物线,则直线 与抛物线的对称轴的位置关系是 。2.几何法:直线与圆锥曲线的位置关系可分为三类:(1)直线与圆锥曲线没有公共点直线与圆锥曲线 ;(2) 直线与圆锥曲线有且只有一个公共点对椭圆而言,直线与椭圆 ;对双曲线而言,表示直线与其相切或与双曲线的渐近线 ,对于抛物线而言,表示直线与其 或与其对称轴平行;(3) 直线与圆锥曲线有个相异的公共点直线与圆锥曲线 ,此时直线被圆锥曲线所截得的线段称为圆锥曲线的弦。二.中点弦问题已知弦的中点,研究的斜率与方程.3. 是椭圆的一条弦,中点 M 坐标为,则直线的斜率为 。运用点差法求的斜率:设都在椭圆上,则,两式相减,得,,从而 ,故 。运用类比思想,可以推出已知是双曲线的弦,中点 M,则 ;已知抛物线的弦的中点 M,则 . 三.弦长问题.4.(1)斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点,,则所得的弦长 或 , 其 中 求与时 , 常 使 用 韦 达 定 理 , 即 做 如 下 变 形 :,.(2)当直线的斜率不存在时,可求出交点的坐标,直接运算;(3)经过圆锥曲线的焦点的弦(也称为焦点弦)的长度问题,可利用圆锥曲线的定义,将其转化为 ,往往比利用弦长公式简单。[特别提醒]直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点,这类问题常涉及到圆锥曲线的性质与直线的基本知识中的点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时要借助于数形结合思想、设而不求法及弦长公式及韦达定理综合考虑,这样就加强了对数学各种能力的考查。因此要注意对数学思想、数学方法的归纳与提炼,达到优化解题的目的。1.解决直线与圆锥曲线的交点问题时,常会出现漏解的情况,用代数法求解时,易忽视消元后一元二次方程的二项式系数是否为零的讨论;在利用几何法解题时,易忽视特殊情况的讨论,如与双曲线的渐近线平行,与抛物线的对...